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Es soll folgende Reihe mittels Leibniz-Kriterium auf Konvergenz untersucht werden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{\bruch{n(n-1)}{2}}}{2^{n}}
[/mm]
Zuerst muss man ja nach meiner Definition die Reihe irgendwie umstellen, so dass der Term [mm] (-1)^{n} [/mm] vorkommt, was mir aber nicht gelingen will.
Ich hoffe mir kann wer helfen wie ich das bewerkstelligen kann.
Vielen Dank
mfg
Berndte
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Hallo!
Versuch's doch einfach mal rauszufinden, wann [mm] $\bruch{n(n-1)}{2}$ [/mm] gerade und wann ungerade ist. Hast du da eine Idee? Und dann zerleg die Reihe entsprechend...
Gruß, banachella
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Sie ist für n = 2,3 ungerade, dann wieder für n = 4,5 gerage, 6,7 ungerade, 8,9 gerade und so weiter, nur leider weiss ich nicht wie ich das verwenden kann :/
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Hallo,
> Sie ist für n = 2,3 ungerade, dann wieder für n = 4,5
> gerage, 6,7 ungerade, 8,9 gerade und so weiter, nur leider
> weiss ich nicht wie ich das verwenden kann :/
allgemein hast Du also folgendes:
[mm]\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
n\; = \;4\;k\; + \;2 \hfill \\
n\; = \;4\;k\; + \;3 \hfill \\
\end{gathered} \right\}\;\left( { - 1} \right)^{\frac{{n\;(n\; - \;1)}}
{2}} \; = \; - 1 \hfill \\
\left. \begin{gathered}
n\; = \;4\;k\; + \;1 \hfill \\
n\; = \;4\;k\; + \;4 \hfill \\
\end{gathered} \right\}\;\left( { - 1} \right)^{\frac{{n\;(n\; - \;1)}}
{2}} \; = \; + 1 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Dies gilt für alle [mm]k \in \;\IN_{0}[/mm]
Demzufolge läßt sich die Reihe jetzt anders schreiben:
[mm]\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;1} }}\; - \;} \frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;2} }}\; - \frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;3} }}\; - \;\frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;4} }}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hmm also wenn ich in die Ausgangsreihe n=1 nehme, dann komme ich auf den Wert [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wenn ich in deine Reihe nun k=0 setze, sollte das Ergebnis übereinstimmen, tut es aber nicht!
Denn es ist für k=0 nämlich [mm] \bruch{3}{16} [/mm] (ich gehe mal davon aus, dass dein letztes Vorzeichen ein + sein soll!).
Und warum Leibniz: Weil es die Aufgabe so verlangt....
Danke nochmal
mfg
Berndte
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Hallo Berndte,
> Hmm also wenn ich in die Ausgangsreihe n=1 nehme, dann
> komme ich auf den Wert [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wenn ich in deine Reihe nun k=0 setze, sollte das Ergebnis
> übereinstimmen, tut es aber nicht!
>
> Denn es ist für k=0 nämlich [mm]\bruch{3}{16}[/mm] (ich gehe mal
> davon aus, dass dein letztes Vorzeichen ein + sein soll!).
Ja, da hat wohl der Fehlerteufel zugeschlagen.
Die umgestellte Reihe sieht dann so aus:
[mm]\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;1} }}\; - \;} \frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;2} }}\; - \frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;3} }}\; + \;\frac{1}
{{2^{4\;k\; + \;4} }}[/mm]
ich habe da immer 4 aufeinanderfolgende Reihenglieder zusammengefasst.
Gruß
MathePower
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Alles klar, ist zwar nicht wirklich Leibniz wie ich das sehe, aber auf jeden Fall kann ich nun Zeigen, dass die Reihe konvergiert.
Danke
mfg
Berndte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Fr 13.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Wenn du die Reihe so schreiben willst, dass du das Leibniz-Kriterium direkt darauf anwenden kannst, dann geht das so:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{\bruch{n(n-1)}{2}}}{2^{n}} =\bruch{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\left(\bruch{1}{2^{2n}}+\bruch{1}{2^{2n+1}}\right)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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