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| Aufgabe | Zu alpha element der reellen Zahlen definieren wir die Folge (an)n eement natürlicher Zahlen. a0 =alpha, an+1=1/4*(an²+3)
a) Bestimmen Sie die möglichen Grenzwerte der Folge (an)n element natürlicher Zahlen mit dem Trick, der in der Vorlesung bei der Berechnung von Quadratzahlen angewandt wurde ("Fixpunktgleichungen").
b) Untersuchen Sie die Folge (an)n element natürlicher Zahlen auf Konvergenz inAbhängigkeit von alpha. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe ein problem mit de oben genannten Aufgabe.
Den Teil in Aufgabe a hab ich schon gelöst, die möglichen Grenzwerte sind 3 und 1.
Aber mit dem Teil b) komm ich gar nicht klar. Ich muss die Fälle alpha=+-1 , +-3, alpha<-3 und alpha>3,-3<alpha<-1 und 1<alpha<3, -1<alpha<1 unterscheiden.
Wie geh ich da am besten ran?
Ich möchte gern die Monotonie und die Beschränktheit nachweisen.
Ich weiß ja wie das geht, aber nicht in Abhängigkeit von alpha?
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 12.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu alpha element der reellen Zahlen definieren wir die
> Folge (an)n eement natürlicher Zahlen. a0 =alpha,
> an+1=1/4*(an²+3)
> a) Bestimmen Sie die möglichen Grenzwerte der Folge (an)n
> element natürlicher Zahlen mit dem Trick, der in der
> Vorlesung bei der Berechnung von Quadratzahlen angewandt
> wurde ("Fixpunktgleichungen").
> b) Untersuchen Sie die Folge (an)n element natürlicher
> Zahlen auf Konvergenz inAbhängigkeit von alpha.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo.
> Ich habe ein problem mit de oben genannten Aufgabe.
> Den Teil in Aufgabe a hab ich schon gelöst, die möglichen
> Grenzwerte sind 3 und 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber mit dem Teil b) komm ich gar nicht klar. Ich muss die
> Fälle alpha=+-1 , +-3, alpha<-3 und alpha>3,-3<alpha<-1
> und 1<alpha<3, -1<alpha<1 unterscheiden.
Im Prinzip ja, aber du kannst dich auf den Fall [mm] $\alpha\ge0$ [/mm] beschränken: Denn: wegen des [mm] $a_n^2$ [/mm] in der Definitionsgleichung sind alle Folgenglieder außer [mm] $a_0$ [/mm] immer positiv; wenn du das Vorzeichen von [mm] $\alpha$ [/mm] änderst, ändert sich nur das Vorzeichen von [mm] $a_0$ [/mm] !
> Wie geh ich da am besten ran?
> Ich möchte gern die Monotonie und die Beschränktheit
> nachweisen.
Tipp: Unabhängig von [mm] $\alpha$ [/mm] ist 0 eine untere Schranke (mit Ausnahme des ersten Elements [mm] $a_0$, [/mm] was für die Konvergenz nichts ausmacht).
Um die Monotonie für die verschiedenen Werte von [mm] $\alpha$ [/mm] zu untersuchen, solltest du dich auf den nächstgeelgenen Fixpunkt beziehen. Beispiel: [mm] $\alpha [/mm] >3$. Schreibe [mm] $\alpha [/mm] = 3+x$ und setze das in die Definitionsgleichung ein:
[mm] a_1 = \bruch{1}{4}((3+x)^2+3) = 3 + \bruch{3}{2}x + \bruch{1}{4} x^2 > 3+x= \alpha [/mm] .
Ebenso folgt aus [mm] $a_n [/mm] > 3$, dass [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$. [/mm] Also ist die Folge dort monoton steigend und damit nicht konvergent.
Viele Grüße
Rainer
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