Konvergenz & stetige Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 12.11.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen,
Wenn ich eine Folge $\ [mm] (x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] habe die gegen ein $\ x$ konvergiert. Die Foglenglieder $\ [mm] x_n$ [/mm] liegen alle in einer Menge P für alle n und $\ x $ liegt im Abschluss dieser Menge P. Nun habe ich eine stetige Funktion f, von welcher ich weiss, dass $\ [mm] f|_P [/mm] = 0$. Daraus folgt, dass $\ [mm] f(x_n) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$. [/mm] Kann man dann daraus schliessen, dass $\ f(x) = 0$ ist?
Danke für die Antwort!
mfg physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Zusammen,
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> Wenn ich eine Folge [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] habe die gegen ein
> [mm]\ x[/mm] konvergiert. Die Foglenglieder [mm]\ x_n[/mm] liegen alle in
> einer Menge P für alle n und [mm]\ x[/mm] liegt im Abschluss dieser
> Menge P. Nun habe ich eine stetige Funktion f, von welcher
> ich weiss, dass [mm]\ f|_P = 0[/mm]. Daraus folgt, dass [mm]\ f(x_n) = 0 \forall n \in \IN[/mm].
> Kann man dann daraus schliessen, dass [mm]\ f(x) = 0[/mm] ist?
ja. Nur ist die Fragestellung komisch: Logischer fände ich sie, wenn Du diese Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] erstmal nicht hättest, also:
Sei [mm] $P\,$ [/mm] mit [mm] $f_{|P}=0$ [/mm] und [mm] $x\,$ [/mm] im Abschluss von [mm] $P\,.$ [/mm] Gilt dann schon [mm] $f(x)=0\,$?
[/mm]
(Hier wird die Existenz einer solchen Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] nämlich nicht explizit vorausgesetzt, sondern folgt, wie Du gleich siehst, wegen der "Abschlusseigenschaft" - ich hoffe, wir rechnen (bspw.) in metrischen Räumen!)
Weil [mm] $x\,$ [/mm] im Abschluss von [mm] $P\,$ [/mm] liegt, existiert eine Folge [mm] $(x_n)\,$ [/mm] in [mm] $P\,$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x\,.$ [/mm] Weil alle [mm] $x_n \in P\,,$ [/mm] gilt [mm] $f(x_n)=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $P\,$-Abschluss [/mm] (insbesondere in [mm] $x\,$) [/mm] (was wir hoffentlich so voraussetzen dürfen - Deine Angaben zu [mm] $f\,$ [/mm] sind nämlich leider etwas "dürftig") gilt
[mm] $$f(x)=f(\lim x_n)=\lim f(x_n)\,.$$
[/mm]
(Wobei [mm] $\lim=\lim_{n \to \infty}$ [/mm] bedeute!)
Warum steht aber rechterhand nun [mm] $0\,$?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
P.S.:
Wie genau lautet die Definitions-/Zielmenge von [mm] $f\,$? [/mm] Geht es vielleicht hier auch um die Frage nach "stetiger Fortsetzbarkeit" oder ähnliches?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Fr 12.11.2010 | | Autor: | physicus |
Ja das ganze habe ich wohl ein wenig kurz beschrieben. Es geht darum: Ich hab einen Banach Raum X, und ein $\ f [mm] \in L(X,\IR)$. [/mm] Des weiteren einen Teilraum von X, dieses P. Nun soll gezeigt werden, dass: wenn P dicht in X ist, dann soll gelten:
die einzige Funktion mit $\ [mm] f|_P=0$ [/mm] ist die Nullfunktion, also auf ganz X null. Dazu habe ich einen Pkt im Abschluss von P genommen (bei mir x), dann folgt daraus, dass es eben eine solche Folge $\ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ gibt die gegen dieses x konvergiert. Aus der Annahme folgt, dass $\ [mm] f(x_n) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n$ und dann mit meiner Frage auch für $\ f(x)$. Dass heisst, f ist überall Null und somit die Nullfunktion.
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