Konvergenz und Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Pirarrrt |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
(i) $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i+1} [/mm] $
(ii) $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm] $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(i) $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7} [/mm] $
Allgemein gilt ja [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Nun brauche ich Tipps:
1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen, da ich bei $i=1$ anfange?
2. wie kann ich mein $q = [mm] (-\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7}$ [/mm] in diese Formel einsetzen?
(ii) $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm] $, es gilt [mm] $s_n [/mm] = 1$, sofern $n$ gerade ist und [mm] $s_n [/mm] = 0$, sofern $n$ ungerade ist. Somit ist (ii) divergent.
Ist dies korrekt?
Ich danke schonmal im Vorraus.
MfG
Der Pirarrrt
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Hallo Pirarrrt,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche
> divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen
> Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
>
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1} = \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} = \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} [/mm]
>
> Allgemein gilt ja [mm]s_n = \summe_{i=0}^{n}a_i = \summe_{i=0}^{n}q^i = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> Nun brauche ich Tipps:
>
> 1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen,
> da ich bei [mm]i=1[/mm] anfange?
Nein.
> 2. wie kann ich mein [mm]q = (-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7}[/mm]
> in diese Formel einsetzen?
>
q ist doch [mm]-\bruch{3}{7}[/mm].
>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm], es gilt [mm]s_n = 1[/mm], sofern
> [mm]n[/mm] gerade ist und [mm]s_n = 0[/mm], sofern [mm]n[/mm] ungerade ist. Somit ist
> (ii) divergent.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist dies korrekt?
>
> Ich danke schonmal im Vorraus.
>
>
> MfG
>
> Der Pirarrrt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Pirarrrt |
Danke für deine schnelle Antwort.
Würde das Einsetzen in die Formel dann folgendermaßen aussehen?:
[mm] $\bruch{1+(\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}*\bruch{3}{7}$
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Vorraus
MfG
Der Pirarrrt
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Hallo Pirarrrt ,
> Danke für deine schnelle Antwort.
>
> Würde das Einsetzen in die Formel dann folgendermaßen
> aussehen?:
>
> [mm]\bruch{1+(\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}*\bruch{3}{7}[/mm]
>
Nein, so sieht die nicht aus:
[mm]\left(\bruch{1\blue{-}(\blue{-}\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}}\red{-1}\right)*\bruch{3}{7}[/mm]
> Vielen Dank schonmal im Vorraus
>
>
> MfG
>
> Der Pirarrrt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Pirarrrt |
Vielen vielen Dank soweit erstmal.
Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu erklkären, wie du auf die $-1$ gekommen bist bzw wie würde dies aussehen, wenn man bei $i=2$ startet?
Falls du die Zeit nicht mehr findest oder einfach kein Interesse hast auch nicht weiter schlimm, du hast mir auch so bereits enorm geholfen =)
Ach und konvergiert diese Folge dann gegen [mm] $-\bruch{3}{10}$?
[/mm]
Ich komme mir irgendwie doof vor.
MfG
Der Pirarrrt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen vielen Dank soweit erstmal.
>
> Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu
> erklkären, wie du auf die [mm]-1[/mm] gekommen bist bzw wie würde
> dies aussehen, wenn man bei [mm]i=2[/mm] startet?
>
> Falls du die Zeit nicht mehr findest oder einfach kein
> Interesse hast auch nicht weiter schlimm, du hast mir auch
> so bereits enorm geholfen =)
>
> Ach und konvergiert diese Folge dann gegen [mm]-\bruch{3}{10}[/mm]?
> Ich komme mir irgendwie doof vor.
rechne einfach mal mit:
Wie Du meiner anderen Antwort etwa entnimmst (oder Dir auf anderem Wege überlegst - die dort auch erwähnt sind):
Es gilt für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] (auch negative [mm] $q\,$ [/mm] (!!) mit $|q| < [mm] 1\,$)
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=\Big(\sum_{k=0}^\infty q^k\Big) -q^0=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
Das wende nun mit [mm] $q:=-3/7\,$ [/mm] bei
$$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k \cdot{} \Big(\bruch{3}{7}\Big)^{k+1}=\summe_{k=1}^{\infty}\Big((3/7)*\;\;\overbrace{(-1)^k \cdot{} \Big(\bruch{3}{7}\Big)^{k}}^{=(-3/7)^k}\Big)=(3/7)*\summe_{k=1}^{\infty}\Big(-\;\bruch{3}{7}\Big)^{k}$$ [/mm]
ganz rechterhand an!
(Ergebnis wäre [mm] $-9/70\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Pirarrrt |
Jawohl dankeschön =)
Die Korrektur auf [mm] $-\bruch{9}{70}$ [/mm] wollte ich grad vornehmen, allerdings hattest du schon die Frage reserviert. Ich hatte vergessen am Ende noch mit [mm] $\bruch{3}{7}$ [/mm] zu multiplizieren.
Und vielen Dank für die Erklärung, wie man auf die $-1$ kommt.
MfG
Der Pirarrrt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen vielen Dank soweit erstmal.
>
> Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu
> erklkären, wie du auf die [mm]-1[/mm] gekommen bist bzw wie würde
> dies aussehen, wenn man bei [mm]i=2[/mm] startet?
ergänzend:
Wie gesagt, erstmal könnte man sich auch allgemein einen Asudruck für [mm] $\sum_{k=M}^N q^k$ [/mm] überlegen - eine Möglichkeit:
Man klammert dann [mm] $q^M$ [/mm] aus und sieht eine bekannte Formel.
Weiter:
Ist $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] so gilt für alle natürlichen $N [mm] \ge [/mm] 1$
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=\Big(\sum_{k=0}^\infty q^k\Big)-\sum_{p=0}^{N-1} q^p=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^{N-1+1}}{1-q}=\frac{q^N}{1-q}\,.$$
[/mm]
Und eine andere Möglichkeit, dies herzuleiten, wäre so
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=q^N\sum_{k=N}^\infty q^{k-N}=q^N \sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=q^N\cdot \frac{1}{1-q}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche
> divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen
> Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
>
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1} = \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} = \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} [/mm]
>
> Allgemein gilt ja [mm]s_n = \summe_{i=0}^{n}a_i = \summe_{i=0}^{n}q^i = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
nicht für [mm] $q=1\,$ [/mm] !!
> Nun brauche ich Tipps:
>
> 1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen,
Müssen nicht - können ja.
> da ich bei [mm]i=1[/mm] anfange?
Na und? Wenn Du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n=P$ [/mm] (die Zahl [mm] $P\,$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ist der "Reihenwert" von [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$) [/mm] weißt, dann weißt Du doch auch [mm] $\sum_{n=N+1}^\infty a_n=P-\sum_{n=0}^{N}a_n$ [/mm] für jedes $N [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Du kannst aber bei [mm] $\sum_{k=N}^\infty q^k$ [/mm] auch einfach erstmal schreiben
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty (q^{k-N}*q^N)\,,$$
[/mm]
und dann den konstanten Faktor [mm] $\blue{q^N}$ [/mm] [mm] ($N\,$ [/mm] ist ja eine feste Zahl) vor die Summe/Reihe ziehen. Danach dann eine Indextransformation, um die "altbekannte Formel" zu benutzen.
Oder man macht es noch elementarer:
Für jedes [mm] $q\,$ ($q=1\,$ [/mm] sollte man aber separat behandeln!) und $M,N [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $M [mm] \le [/mm] N$ kann man sich doch überlegen, was
[mm] $$\sum_{n=M}^N q^n$$
[/mm]
ist.
Mit den gleichen Argumenten wie oben führt man das im Wesentlichen auf die Summe
[mm] $$\sum_{n=0}^P q^k$$
[/mm]
mit $P [mm] \in \IN_0$ [/mm] zurück!
> 2. wie kann ich mein [mm]q = (-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7}[/mm]
> in diese Formel einsetzen?
>
>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm], es gilt [mm]s_n = 1[/mm], sofern
> [mm]n[/mm] gerade ist und [mm]s_n = 0[/mm], sofern [mm]n[/mm] ungerade ist. Somit ist
> (ii) divergent.
>
> Ist dies korrekt?
Ja: Du solltest nur erwähnen, dass [mm] $(s_n)_n$ [/mm] nichts anderes als die Reihe [mm] $\summe_{k=0}^\infty (-1)^k$ [/mm] ist [mm] ($i\,$ [/mm] empfinde ich meist als einen denkbar schlechten Index - erst recht, wenn man Reihen mit komplexen Gliedern [mm] $a_k$ [/mm] betrachtet!) - im Sinne, dass eine Reihe erstmal nichts anderes als "die Folge ihrer Teilsummen" ist. Oben ist also
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n (-1)^k\,.$$ [/mm]
Und klar: [mm] $(s_n)_n$ [/mm] divergiert, weil sie schon zwei verschiedene Häufungspunkte hat! (Das folgt ja sofort aus Deinen Argumenten!)
Gruß,
Marcel
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