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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz und Divergenz
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Konvergenz und Divergenz: Tipp und Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Mi 18.04.2012
Autor: Pirarrrt

Aufgabe
Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.

(i) $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i+1} [/mm] $

(ii) $  [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm] $

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

(i) $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i+1} [/mm] =  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7} [/mm] =  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7} [/mm]  $

Allgemein gilt ja [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

Nun brauche ich Tipps:

    1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen, da ich bei $i=1$ anfange?
    2. wie kann ich mein $q = [mm] (-\bruch{3}{7})^{i} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7}$ [/mm] in diese Formel einsetzen?


(ii) $  [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm] $, es gilt [mm] $s_n [/mm] = 1$, sofern $n$ gerade ist und [mm] $s_n [/mm] = 0$, sofern $n$ ungerade ist. Somit ist (ii) divergent.

Ist dies korrekt?

Ich danke schonmal im Vorraus.


MfG

Der Pirarrrt

        
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 18.04.2012
Autor: MathePower

Hallo Pirarrrt,


[willkommenmr]


> Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche
> divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen
> Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
>  
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1}[/mm]
>  
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1} = \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} = \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} [/mm]
>  
> Allgemein gilt ja [mm]s_n = \summe_{i=0}^{n}a_i = \summe_{i=0}^{n}q^i = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>  
> Nun brauche ich Tipps:
>  
> 1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen,
> da ich bei [mm]i=1[/mm] anfange?


Nein.


>      2. wie kann ich mein [mm]q = (-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7}[/mm]
> in diese Formel einsetzen?
>  


q ist doch [mm]-\bruch{3}{7}[/mm].


>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm], es gilt [mm]s_n = 1[/mm], sofern
> [mm]n[/mm] gerade ist und [mm]s_n = 0[/mm], sofern [mm]n[/mm] ungerade ist. Somit ist
> (ii) divergent.

>


[ok]

  

> Ist dies korrekt?
>  
> Ich danke schonmal im Vorraus.
>  
>
> MfG
>  
> Der Pirarrrt



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mi 18.04.2012
Autor: Pirarrrt

Danke für deine schnelle Antwort.

Würde das Einsetzen in die Formel dann folgendermaßen aussehen?:

[mm] $\bruch{1+(\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}*\bruch{3}{7}$ [/mm]

Vielen Dank schonmal im Vorraus


MfG

Der Pirarrrt

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 18.04.2012
Autor: MathePower

Hallo Pirarrrt ,

> Danke für deine schnelle Antwort.
>  
> Würde das Einsetzen in die Formel dann folgendermaßen
> aussehen?:
>  
> [mm]\bruch{1+(\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}*\bruch{3}{7}[/mm]
>  


Nein, so sieht die nicht aus:

[mm]\left(\bruch{1\blue{-}(\blue{-}\bruch{3}{7})^{n+1}}{1+\bruch{3}{7}}}\red{-1}\right)*\bruch{3}{7}[/mm]


> Vielen Dank schonmal im Vorraus
>  
>
> MfG
>  
> Der Pirarrrt


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Mi 18.04.2012
Autor: Pirarrrt

Vielen vielen Dank soweit erstmal.

Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu erklkären, wie du auf die $-1$ gekommen bist bzw wie würde dies aussehen, wenn man bei $i=2$ startet?

Falls du die Zeit nicht mehr findest oder einfach kein Interesse hast auch nicht weiter schlimm, du hast mir auch so bereits enorm geholfen =)

Ach und konvergiert diese Folge dann gegen [mm] $-\bruch{3}{10}$? [/mm]
Ich komme mir irgendwie doof vor.


MfG

Der Pirarrrt

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Mi 18.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen vielen Dank soweit erstmal.
>  
> Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu
> erklkären, wie du auf die [mm]-1[/mm] gekommen bist bzw wie würde
> dies aussehen, wenn man bei [mm]i=2[/mm] startet?
>  
> Falls du die Zeit nicht mehr findest oder einfach kein
> Interesse hast auch nicht weiter schlimm, du hast mir auch
> so bereits enorm geholfen =)
>  
> Ach und konvergiert diese Folge dann gegen [mm]-\bruch{3}{10}[/mm]?
>  Ich komme mir irgendwie doof vor.

rechne einfach mal mit:
Wie Du meiner anderen Antwort etwa entnimmst (oder Dir auf anderem Wege überlegst - die dort auch erwähnt sind):
Es gilt für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] (auch negative [mm] $q\,$ [/mm] (!!) mit $|q| < [mm] 1\,$) [/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=\Big(\sum_{k=0}^\infty q^k\Big) -q^0=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$ [/mm]

Das wende nun mit [mm] $q:=-3/7\,$ [/mm] bei
$$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k \cdot{} \Big(\bruch{3}{7}\Big)^{k+1}=\summe_{k=1}^{\infty}\Big((3/7)*\;\;\overbrace{(-1)^k \cdot{} \Big(\bruch{3}{7}\Big)^{k}}^{=(-3/7)^k}\Big)=(3/7)*\summe_{k=1}^{\infty}\Big(-\;\bruch{3}{7}\Big)^{k}$$ [/mm]
ganz rechterhand an!

(Ergebnis wäre [mm] $-9/70\,.$) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Mi 18.04.2012
Autor: Pirarrrt

Jawohl dankeschön =)

Die Korrektur auf [mm] $-\bruch{9}{70}$ [/mm] wollte ich grad vornehmen, allerdings hattest du schon die Frage reserviert. Ich hatte vergessen am Ende noch mit [mm] $\bruch{3}{7}$ [/mm] zu multiplizieren.

Und vielen Dank für die Erklärung, wie man auf die $-1$ kommt.


MfG

Der Pirarrrt

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Allgemein(er)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Mi 18.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen vielen Dank soweit erstmal.
>  
> Aber hättest du wohl noch die Zeit mir einmal zu
> erklkären, wie du auf die [mm]-1[/mm] gekommen bist bzw wie würde
> dies aussehen, wenn man bei [mm]i=2[/mm] startet?

ergänzend:
Wie gesagt, erstmal könnte man sich auch allgemein einen Asudruck für [mm] $\sum_{k=M}^N q^k$ [/mm] überlegen - eine Möglichkeit:
Man klammert dann [mm] $q^M$ [/mm] aus und sieht eine bekannte Formel.

Weiter:
Ist $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] so gilt für alle natürlichen $N [mm] \ge [/mm] 1$
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=\Big(\sum_{k=0}^\infty q^k\Big)-\sum_{p=0}^{N-1} q^p=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^{N-1+1}}{1-q}=\frac{q^N}{1-q}\,.$$ [/mm]

Und eine andere Möglichkeit, dies herzuleiten, wäre so
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=q^N\sum_{k=N}^\infty q^{k-N}=q^N \sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=q^N\cdot \frac{1}{1-q}\,.$$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenz und Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mi 18.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche
> divergieren? Geben Sie kurze Begründungen und bestimmen
> Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
>  
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1}[/mm]
>  
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> (i) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i+1} = \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i * (\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} = \summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7} [/mm]
>  
> Allgemein gilt ja [mm]s_n = \summe_{i=0}^{n}a_i = \summe_{i=0}^{n}q^i = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]

nicht für [mm] $q=1\,$ [/mm] !!
  

> Nun brauche ich Tipps:
>  
> 1. muss ich zunächst eine Indextransformation vornehmen,

Müssen nicht - können ja.

> da ich bei [mm]i=1[/mm] anfange?

Na und? Wenn Du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n=P$ [/mm] (die Zahl [mm] $P\,$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ist der "Reihenwert" von [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$) [/mm] weißt, dann weißt Du doch auch [mm] $\sum_{n=N+1}^\infty a_n=P-\sum_{n=0}^{N}a_n$ [/mm] für jedes $N [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm]
Du kannst aber bei [mm] $\sum_{k=N}^\infty q^k$ [/mm] auch einfach erstmal schreiben
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty (q^{k-N}*q^N)\,,$$ [/mm]
und dann den konstanten Faktor [mm] $\blue{q^N}$ [/mm] [mm] ($N\,$ [/mm] ist ja eine feste Zahl) vor die Summe/Reihe ziehen. Danach dann eine Indextransformation, um die "altbekannte Formel" zu benutzen.

Oder man macht es noch elementarer:
Für jedes [mm] $q\,$ ($q=1\,$ [/mm] sollte man aber separat behandeln!) und $M,N [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $M [mm] \le [/mm] N$ kann man sich doch überlegen, was
[mm] $$\sum_{n=M}^N q^n$$ [/mm]
ist.
Mit den gleichen Argumenten wie oben führt man das im Wesentlichen auf die Summe
[mm] $$\sum_{n=0}^P q^k$$ [/mm]
mit $P [mm] \in \IN_0$ [/mm] zurück!

>      2. wie kann ich mein [mm]q = (-\bruch{3}{7})^{i} * \bruch{3}{7}[/mm]
> in diese Formel einsetzen?
>  
>
> (ii) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i [/mm], es gilt [mm]s_n = 1[/mm], sofern
> [mm]n[/mm] gerade ist und [mm]s_n = 0[/mm], sofern [mm]n[/mm] ungerade ist. Somit ist
> (ii) divergent.
>  
> Ist dies korrekt?

Ja: Du solltest nur erwähnen, dass [mm] $(s_n)_n$ [/mm] nichts anderes als die Reihe [mm] $\summe_{k=0}^\infty (-1)^k$ [/mm] ist [mm] ($i\,$ [/mm] empfinde ich meist als einen denkbar schlechten Index - erst recht, wenn man Reihen mit komplexen Gliedern [mm] $a_k$ [/mm] betrachtet!) - im Sinne, dass eine Reihe erstmal nichts anderes als "die Folge ihrer Teilsummen" ist. Oben ist also
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n (-1)^k\,.$$ [/mm]
  
Und klar: [mm] $(s_n)_n$ [/mm] divergiert, weil sie schon zwei verschiedene Häufungspunkte hat! (Das folgt ja sofort aus Deinen Argumenten!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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