Konvergenz und Divergenz von R < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. ich habe hier paar Aufgaben, bei denen ich die Rechenschritt nicht so vertsteh.
1. Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\wurzel{k+1} [/mm] - [mm] \wurzel{k}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}(\wurzel{k+1} [/mm] - [mm] \wurzel{k}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{1} [/mm] - [mm] \wurzel{1}) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
also hier versteh ich eigentlich nur nicht, wie man da auf - [mm] \wurzel{1} [/mm] kommt, also [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{1}) [/mm] . die geben ja wahrscheinlich den letzten summanden an, aber wie berechnet man den?
2. Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^5}{2^k+3^k} [/mm] konvergiert nach dem quotientenkr., da:
[mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] = [mm] (\bruch{(k+1)^5}{2^{k+1}+3^{k+1}})*(\bruch{2^k + 3^k}{k^5}) [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{k})^5 [/mm] * [mm] \bruch{(\bruch{2}{3})^k + 1}{3*((\bruch{2}{3})^{k+1} + 1)} \to \bruch{1}{3} [/mm] < 1
hier versteh ich auch wieder den letzten schritt der umwandlung nicht, also wie die von [mm] (\bruch{(k+1)^5}{2^{k+1}+3^{k+1}})*(\bruch{2^k + 3^k}{k^5}) [/mm] auf (1 + [mm] \bruch{1}{k})^5 [/mm] * [mm] \bruch{(\bruch{2}{3})^k + 1}{3*((\bruch{2}{3})^{k+1} + 1)} [/mm] kommen.
kann es sein, dass die hier [mm] (k+1)^5 [/mm] einfach durch k geteilt haben und dann (1 + [mm] \bruch{1}{k})^5 [/mm] kommen?
und [mm] 2^{k}+3^{k} [/mm] genauso durch [mm] 3^k [/mm] geteilt wurde, so dass man auf [mm] (\bruch{2}{3})^k [/mm] + 1 kommt. stimmt das bis jetzt so???
aber das immer nenner versteh ich nicht. und vor allem, wo geht das [mm] k^5 [/mm] hin.
und dann die letzte aufgabe erstmal.
3. aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k *k!}{k^k} [/mm] nach dem quotientenkriterium gilt hier wieder.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{3^{k+1} * (k+1)!}{(k+1)^{k+1}})*(\bruch{k^k}{3^k *k!}) [/mm] = [mm] 3*\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{k}{k+1})^k [/mm] = [mm] 3*\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k [/mm] = [mm] \bruch{3}{e} [/mm] > 1
auch hier mal wieder der entscheidene schritt, den ich nicht verstehe.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{3^{k+1} * (k+1)!}{(k+1)^{k+1}})*(\bruch{k^k}{3^k *k!}) [/mm] = [mm] 3*\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{k}{k+1})^k
[/mm]
danke im voraus für hilfe.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zur 1) Schreib dir hier mal in Pünktchenschreibweise ein paar Glieder auf, z.B. erst die Summe von 1 bis 2. Dann von 1 bis 3, und dann von 1 bis n. Dann siehst du, dass das ganze 'ne Teleskopsumme ist, wo sich dann in der Mitte alle Glieder aufheben, dann kannst du die Summe von 1 bis n so umschreiben. Dann nur noch n gegen unendlich gehen lassen, damit du die unendlche Summe da stheen hast, und dann siehst du, dass das ganze divergiert. Die -1 ist dann der erste Term, der nicht aufgehoben wird, also keinen "Partner" findet. Was da aber im letzten Schritt passiert ist, warum das unter der Wurzel rausgezogen wurde, kann ich dir nicht sagen. Das ist m.E. falsch. Aber das [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{1}$ [/mm] reicht ja schon aus, um zu sehen, dass das gegen unendlich geht.
Auf die [mm] $(1+1/k)^5$ [/mm] kommt man, indem man das [mm] $(k+1)^5$ [/mm] im Zähler und [mm] $k^5$ [/mm] im Nenner miteinander verknüpft.
Dann bleibt noch folgendes über, das man dann durch Ausklammern weiter zusammenfassen kann:
[mm] $\frac{2^k+3^k}{2^{k+1}+3^{3+1}}=\frac{3^k*(\frac{2^k}{3^k}+1)}{3^{k+1}(\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}}+1)}$
[/mm]
Jetzt solltest du weiterkommen.
Für die letzte Aufgabe geb ich dir jetzt noch ein paar Rechentips:
[mm] $\frac{3^{k+1}}{3^k}=3$. [/mm] Ist das soweit klar? Dann weist du, woher die 3 vor dem Limes herkommt.
[mm] $\frac{(k+1)!}{k!}=k+1$. [/mm] Schreib dir mal die Fakultät aus, mit Pünktchenschreibweise. Dann kannst du auch sehen, dass $(k+1)!=(k+1)*k!$ ist. Dann kürzen, und du hast dein k+1 da stehen.
Dann kümmern wir uns noch um den letzten Ausdruck:
[mm] $(k+1)^{k+1}=(k+1)^k [/mm] * (k+1)$ Dann kannst du das mit dem k+1 von oben kürzen. Bleibt also letzendlich nur noch
[mm] $3\frac{k^k}{(k+1)^k}$ [/mm] stehen. Dann kann man das ganze umschreiben in [mm] $3\left(\frac{k}{k+1}\right)^k$ [/mm] schreiben.
Dann weist du vlt. dass der Grenzwert von [mm] $(1+\frac{1}{n})^n$ [/mm] gleich e ist. Gut, dann wissen wir auch, dass [mm] $\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$ [/mm] und davon der Grenzwert gleich 1/e ist. Wenn wir jetzt im Nenner den Ausdruck umformen, durch Nenner gleich machen etc. und die 1 als [mm] $1^n$ [/mm] umschreiben, dann erhalten wir:
[mm] $\left(\frac{1}{1+1/n}\right)^n=\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Also ist der Grenzert für n gegen unendlich von deimem Audruckg gleich 3/e
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mi 19.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Besten danke, alles jetzt verstanden.
Gruß
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hi, nochmal eine kleine frage. wieso konvergiert diese reihe:
[mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] aber diese reihe divergiert [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k}
[/mm]
sind die vom prinzip her nicht gleich??
danke
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> hi, nochmal eine kleine frage. wieso konvergiert diese
> reihe:
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> [mm]2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm] aber diese reihe
> divergiert [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> sind die vom prinzip her nicht gleich??
Hallo,
offensichtlich nicht...
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] = -1 + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k},
[/mm]
und die Reihe divergiert, weil [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] divergiert, wie Ihr sicher gezeigt habt. (Kann man im Analysis-Buch nachlesen, wenn Du konkrete Fragen zum Beweis hast: Beweis präsentieren und fragen.)
[mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert, weil [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert.
Die Konvergenz v. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] zeigt man, indem man zeigt, daß die Partialsummen beschränkt sind,, zusammen mit dem monotonen Wachstum ergibt sich die Konvergenz. Auch das kannst Du in einschlägigen Büchern nachlesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 20.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi. ok, danke erstmal.
das mit [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] = -1 + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] haben wir in unserem skript auch bewiesen, stimmt.
ich dachte nur, die beiden reihen sehen sehr änlich aus, nur das sie andere halt noch quadriert wird und deswegen sind die gleich. sind sie aber wohl nicht. aufgrund deiner beschriebenen tatsachen. ok
danke
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