Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 15.11.2010 | | Autor: | eLi |
| Aufgabe | Untersuche die nachstehenden reellen Zahlenfolgen [mm] (a_{n})_{n} [/mm] auf Konvergenz. Bestimme
gegebenfalls den Grenzwert.
a) [mm] a_n=\bruch{n^2}{2^n}
[/mm]
b) [mm] a_n=\bruch{2^n}{n^2} [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Hilfestellung, wie ich diese Aufgabe angehen kann. Ich denke mal es reicht, wenn man weiß, wie eine der beiden Aufgaben zu lösen ist. Sind ja relativ Analog.
Ich weiß, dass [mm] a_n=\bruch{n^2}{2^n} [/mm] gegen 0 läuft und [mm] a_n=\bruch{2^n}{n^2} [/mm] dementsprechend divergiert. Aber wie zeige ich das?
Grüße,
eLi
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Halle eLi,
ok, du weißt also die Lösung.
Versuch doch mal das Quotientenkriterium. 
Für die konvergente Folge musst dann noch zeigen, dass Null der Grenzwert ist. Das geht entweder über das übliche [mm] \varepsilon, [/mm] oder über die Kenntnis, dass die andere Folge divergent ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 15.11.2010 | | Autor: | eLi |
Gelten die Konvergenzkriterien denn nicht nur für Reihen? In diesem Fall handelt es sich doch um Folgen. Oder hab ich das jetzt was falsch verstanden?
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Hallo,
> Gelten die Konvergenzkriterien denn nicht nur für Reihen?
Das Quotientenkriterium und die anderen, die normalerweise unter dem Namen "Konvergenzkriterien" zusammengefasst werden, gelten in der Tat nur für Reihen.
> In diesem Fall handelt es sich doch um Folgen. Oder hab ich
> das jetzt was falsch verstanden?
Nein, das hast Du ganz richtig verstanden. Es gibt allerdings auch für Folgen ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzkriterien, aber die sind hier nicht so einfach anzuwenden.
Mein Vorschlag (der mit einem Zwinkersmilie versehen war!) sollte Dich darauf bringen, mal den Fortschritt von [mm] a_n [/mm] zu [mm] a_{n+1} [/mm] genauer zu betrachten. Wenn du ab einem gewissen N z.B. mindestens eine Verdopplung garantieren kannst, ist die Folge sicher divergent. Das ist dann normalerweise leicht zu zeigen, z.B. über eine Minorante.
Womit wir wieder bei der Frage wären, welche der Reihenkriterien auch Aussagen über Folgen treffen. 
Denn mal los. Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 15.11.2010 | | Autor: | eLi |
Ganz ehrlich, ich verstehe grad irgendwie nur Bahnhof. Könntest du mir vllt. einen Ansatz zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo eLi!
Betrachte den Quotient [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] , womit Du dann auf die jeweilige Monotonie der Folge schließen kannst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 15.11.2010 | | Autor: | eLi |
ok, also für a) würde dann ja gelten:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\bruch{n^2}{2^n}}=\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}=\bruch{(n+1)^2}{2n^2}=\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}=\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
So richtig? Und was genau sagt mir jetzt das monotonie verhalten über den grenzwert und die konvergenz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 15.11.2010 | | Autor: | abakus |
> ok, also für a) würde dann ja gelten:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\bruch{n^2}{2^n}}=\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}=\bruch{(n+1)^2}{2n^2}=\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}=\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> So richtig? Und was genau sagt mir jetzt das monotonie
> verhalten über den grenzwert und die konvergenz?
Für sehr große n ist jedes Folgenglied ca. halb so groß wie das vorherige...
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 15.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo eLi,
abakus schreibt ganz profan:
> Für sehr große n ist jedes Folgenglied ca. halb so groß
> wie das vorherige...
Nimm mal ein N an, so dass für alle n>N der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<\bruch{2}{3} [/mm] ist. Er kommt zwar beliebig nahe an [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] heran, erreicht den Wert aber erst im Grenzübergang. Oder nie, könnte man sagen. Trotzdem gibt es mit Sicherheit ein N, für das gilt [mm] \bruch{1}{2}<\bruch{a_{N+1}}{a_N}<\bruch{2}{3}, [/mm] und wenn Du die Monotonie auch gezeigt hast, weißt Du sogar, dass das für alle n>N auch gilt.
Nun nimm an, es sei [mm] a_N=a, a\in\IR^+.
[/mm]
Was ist nun der Grenzwert der Folge? Für jedes [mm] a_n [/mm] mit n>N gilt doch [mm] a_n<\left(\bruch{2}{3}\right)^{n-N}*a
[/mm]
Grüße
reverend
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