www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz und Grenzwert
Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz und Grenzwert: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mo 15.11.2010
Autor: eLi

Aufgabe
Untersuche die nachstehenden reellen Zahlenfolgen [mm] (a_{n})_{n} [/mm] auf Konvergenz. Bestimme
gegebenfalls den Grenzwert.

a) [mm] a_n=\bruch{n^2}{2^n} [/mm]

b) [mm] a_n=\bruch{2^n}{n^2} [/mm]


Hallo,

ich bräuchte Hilfestellung, wie ich diese Aufgabe angehen kann. Ich denke mal es reicht, wenn man weiß, wie eine der beiden Aufgaben zu lösen ist. Sind ja relativ Analog.

Ich weiß, dass [mm] a_n=\bruch{n^2}{2^n} [/mm] gegen 0 läuft und [mm] a_n=\bruch{2^n}{n^2} [/mm] dementsprechend divergiert. Aber wie zeige ich das?

Grüße,
eLi

        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Mo 15.11.2010
Autor: reverend

Halle eLi,

ok, du weißt also die Lösung.
Versuch doch mal das Quotientenkriterium. ;-)

Für die konvergente Folge musst dann noch zeigen, dass Null der Grenzwert ist. Das geht entweder über das übliche [mm] \varepsilon, [/mm] oder über die Kenntnis, dass die andere Folge divergent ist.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 15.11.2010
Autor: eLi

Gelten die Konvergenzkriterien denn nicht nur für Reihen? In diesem Fall handelt es sich doch um Folgen. Oder hab ich das jetzt was falsch verstanden?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mo 15.11.2010
Autor: reverend

Hallo,

> Gelten die Konvergenzkriterien denn nicht nur für Reihen?

Das Quotientenkriterium und die anderen, die normalerweise unter dem Namen "Konvergenzkriterien" zusammengefasst werden, gelten in der Tat nur für Reihen.

> In diesem Fall handelt es sich doch um Folgen. Oder hab ich
> das jetzt was falsch verstanden?

Nein, das hast Du ganz richtig verstanden. Es gibt allerdings auch für Folgen []Konvergenzkriterien, aber die sind hier nicht so einfach anzuwenden.

Mein Vorschlag (der mit einem Zwinkersmilie versehen war!) sollte Dich darauf bringen, mal den Fortschritt von [mm] a_n [/mm] zu [mm] a_{n+1} [/mm] genauer zu betrachten. Wenn du ab einem gewissen N z.B. mindestens eine Verdopplung garantieren kannst, ist die Folge sicher divergent. Das ist dann normalerweise leicht zu zeigen, z.B. über eine Minorante.

Womit wir wieder bei der Frage wären, welche der Reihenkriterien auch Aussagen über Folgen treffen. :-)

Denn mal los. Viel Erfolg!
reverend


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 15.11.2010
Autor: eLi

Ganz ehrlich, ich verstehe grad irgendwie nur Bahnhof. Könntest du mir vllt. einen Ansatz zeigen?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Monotonie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Mo 15.11.2010
Autor: Loddar

Hallo eLi!


Betrachte den Quotient [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] , womit Du dann auf die jeweilige Monotonie der Folge schließen kannst.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mo 15.11.2010
Autor: eLi

ok, also für a) würde dann ja gelten:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\bruch{n^2}{2^n}}=\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}=\bruch{(n+1)^2}{2n^2}=\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}=\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}=\bruch{1}{2} [/mm]

So richtig? Und was genau sagt mir jetzt das monotonie verhalten über den grenzwert und die konvergenz?



Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Mo 15.11.2010
Autor: abakus


> ok, also für a) würde dann ja gelten:
>  [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\bruch{n^2}{2^n}}=\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}=\bruch{(n+1)^2}{2n^2}=\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}=\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> So richtig? Und was genau sagt mir jetzt das monotonie
> verhalten über den grenzwert und die konvergenz?

Für sehr große n ist jedes Folgenglied ca. halb so groß wie das vorherige...
Gruß Abakus

>  
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Mo 15.11.2010
Autor: reverend

Hallo eLi,

abakus schreibt ganz profan:

>  Für sehr große n ist jedes Folgenglied ca. halb so groß
> wie das vorherige...

Nimm mal ein N an, so dass für alle n>N der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<\bruch{2}{3} [/mm] ist. Er kommt zwar beliebig nahe an [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] heran, erreicht den Wert aber erst im Grenzübergang. Oder nie, könnte man sagen. Trotzdem gibt es mit Sicherheit ein N, für das gilt [mm] \bruch{1}{2}<\bruch{a_{N+1}}{a_N}<\bruch{2}{3}, [/mm] und wenn Du die Monotonie auch gezeigt hast, weißt Du sogar, dass das für alle n>N auch gilt.

Nun nimm an, es sei [mm] a_N=a, a\in\IR^+. [/mm]

Was ist nun der Grenzwert der Folge? Für jedes [mm] a_n [/mm] mit n>N gilt doch [mm] a_n<\left(\bruch{2}{3}\right)^{n-N}*a [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]