Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Magehex |
| Aufgabe | Untersuchen Sie Zahlenfolge [mm] (a_n) [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
10^n, & \mbox{falls }n<10^1^0^0 \\
(3/4)^n, & \mbox{falls }n\ge10^1^0^0\mbox{ durch 5 teilbar ist} \\
(-1)^n/n!, & \mbox{falls }n\ge10^1^0^0\mbox{ nicht durch 5 teilbar ist} \\
\end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo,
ich verstehe bei der Aufgabe nicht ganz wie ich die Zahlenfolge auf Konvergenz untersuchen soll.
Ich dachte, da es für die Aufgabe nur sehr wenige Punkte gibt, kann ich sie auch beschreiben. Ich würde halt z.B. für [mm] 10^n [/mm] sagen:
Die Folge kann nicht konvergieren, da das n nach oben beschränkt ist und die Folge immer einen rationalen Wert bzw. sogar natürlichen Wert annimmt. Damit besitzt sie auch keinen Grenzwert.
Für [mm] (3/4)^n [/mm] würde ich sagen:
[mm] 3^n/4^n [/mm] Diese Folge konvergiert, da der Nenner immer größer als der Zähler ist. Der Grenzwert ist folglich 0. Ob das n durch 5 teilbar ist, ist hierbei unerheblich.
[mm] (-1)^n/n! [/mm] Der Zähler ist alternierend, der Nenner die Fakultät von n. Auch hier gilt, der Nenner ist immer größer als der zähler und da der Zähler alternierend ist, ist die folge sowohl monoton fallend als auch steigend und konvergiert gegen Null.
Oder wie soll ich die Aufgabe lösen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Magehex,
> Untersuchen Sie Zahlenfolge [mm](a_n)[/mm] auf Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:
>
> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
10^n, & \mbox{falls }n<10^1^0^0 \\
(3/4)^n, & \mbox{falls }n\ge10^1^0^0\mbox{ durch 5 teilbar ist} \\
(-1)^n/n!, & \mbox{falls }n\ge10^1^0^0\mbox{ nicht durch 5 teilbar ist} \\
\end{matrix}\right.[/mm]
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> Hallo,
>
> ich verstehe bei der Aufgabe nicht ganz wie ich die
> Zahlenfolge auf Konvergenz untersuchen soll.
> Ich dachte, da es für die Aufgabe nur sehr wenige Punkte
> gibt, kann ich sie auch beschreiben. Ich würde halt z.B.
> für [mm]10^n[/mm] sagen:
> Die Folge kann nicht konvergieren, da das n nach oben
> beschränkt ist und die Folge immer einen rationalen Wert
> bzw. sogar natürlichen Wert annimmt. Damit besitzt sie
> auch keinen Grenzwert.
Das ist ja auch "nur" eine endliche Anzahl von endlichen Werten ...
Die Folge [mm]\left(10^n\right)_{n\in\IN}[/mm] divergiert zwar, aber hier interessieren uns ja nur endlich viele Werte (die ersten [mm]10^{100}[/mm])
>
> Für [mm](3/4)^n[/mm] würde ich sagen:
> [mm]3^n/4^n[/mm] Diese Folge konvergiert, da der Nenner immer
> größer als der Zähler ist. Der Grenzwert ist folglich 0.
> Ob das n durch 5 teilbar ist, ist hierbei unerheblich.
>
> [mm](-1)^n/n![/mm] Der Zähler ist alternierend, der Nenner die
> Fakultät von n. Auch hier gilt, der Nenner ist immer
> größer als der zähler und da der Zähler alternierend
> ist, ist die folge sowohl monoton fallend als auch steigend
> und konvergiert gegen Null.
Alternierende Nullfolge reicht.
Wenn du das ganz genau begründen willst, schaue dir die Folge der Beträge an und nimm das Sandwichlemma (zB)
>
> Oder wie soll ich die Aufgabe lösen?
Das ist doch schon ganz gut.
Für das Konvergenzverhalten spielen die ersten (endlich vielen (!!)) [mm]10^{100}[/mm] Folgenglieder ja keine Rolle.
Was die Folge für [mm]n<10^{100}[/mm] treibt, ist also völlig egal.
Und beide Teilfolgen für [mm]n\ge 10^{100}[/mm] konvergieren, das hast du ja richtig begründet.
Damit konvergiert auch die Gesamtfolge.
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> Danke
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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