Konvergenz und Limes < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz und berechne den Limes (falls er existiert)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n}{2})) [/mm] |
Mein Lösungsvorschlag mit Bitte um Korrektur:
Als erstes hab ich mal
n [mm] \not= [/mm] 0 ! dazugeschrieben.
Notiz (Erste Vermutung):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2} \to [/mm] l´H [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n}{2})) \to [/mm] 0
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2}) [/mm] * [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] k - [mm] \bruch{n}{2}) \to [/mm] 0
Zur Sicherheit schreib ich noch
x*0 = 0 = 0*x ; x*0 + 0*x = x(0+0) = x*0 = 0 dazu.
Jetzt teste ich noch auf Konvergenz/Divergenz durch probieren.
n = 1
[mm] \bruch{1}{1+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ;
[mm] \bruch{2}{2+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] (2 - [mm] \bruch{2}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm]
[mm] \to [\bruch{1}{6} [/mm] * [mm] 2\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}] [/mm] 2,25 > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Divergenz. "Obrige Vermutung nicht bestätigt.
Untersuchen der Summe:
k = n da k= 1 wenn n = 1
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (n - [mm] \bruch{n}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{2n-n}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{n}{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2} + \bruch{2}{2} + ... + \bruch{n-1}{2} + \bruch{n}{2}}{(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{1}{2} * (1+2+3+...(n-1) + (n)}{\bruch{1}{2} * (2n+4)}
[/mm]
= "Kleiner Gauß"/(2n+4) = [mm] \bruch{\bruch{n(n+1}{2}}{2n+4} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+4)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1}{n(4+\bruch{4}{n}}
[/mm]
[mm] [\overbrance{(n+1)}^{\to \infty} [/mm] / [mm] \underbrance{(4 + \bruch{4}{n})}_{\to 4}] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm]
da 4/n [mm] \to [/mm] 0
"Divergenz > Konvergenz"
Vielen Dank im Voraus.
Grüße
Semi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nicht böse sein, aber was Du schreibst ist nur sehr schwer zu verstehen.
Tipp: [mm] $\summe_{k=1}^{n}(k [/mm] -n/2)= [mm] \summe_{k=1}^{n}k -\bruch{n^2}{2}= \bruch{n(n+1)}{2}--\bruch{n^2}{2}= \bruch{n}{2}$
[/mm]
FRED
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Bin nicht böse.
Eigentlich ist das was du geschrieben hast genau das Gleiche wie das was ich geschrieben habe.
Erst mal hab ich l´Hobital angewant um zu zeigen, dass: [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2} \to \bruch{0}{1} \to [/mm] 0
Daraus resultiert meine erste Vermutung, dass der Term gegen 0 konvergiert.
Dann teste ich indem ich n = 1 bzw n=2 einsetze und die Ergebnisse dividiere.
Der Faktor ist 2,25. 2,25 > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Divergenz der Funktion. Die obrige Vermutung hat sich also nicht bestätigt.
Jetzt stelle ich
[mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n}{2}) [/mm] nach [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{n}{2}) [/mm] um.
Jetzt kann ich dafür auch
[mm] \bruch{\bruch{1}{2} +...+\bruch{n-1}{2} + \bruch{n}{2}}{(n+2)} [/mm] schreiben.
Da ziehe ich im Zähler/Nenner [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus und kann dann für den Zähler den "kleinen Gauß", [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] ansetztnen.
Danach kürze ich eigentlich nur noch raus und komm dann auf [mm] \bruch{n+1}{4 + \bruch{4}{n}} [/mm] .
4/n [mm] \to [/mm] 0 also: 4 + [mm] \bruch{4}{n} \to [/mm] 4 während der zähler gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Also geht der Term für n = [mm] \infty \to [/mm] 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bin nicht böse.
> Eigentlich ist das was du geschrieben hast genau das
> Gleiche wie das was ich geschrieben habe.
Echt ? ???? Warum bist Du dann nicht schnustracks auf
$ [mm] \bruch{1}{n+2}\summe_{k=1}^{n}(k [/mm] - [mm] \bruch{n}{2})= \bruch{n}{2(n+2)} \to [/mm] 1/2$ für (n [mm] \to \infty)
[/mm]
gekommen ??
>
> Erst mal hab ich l´Hobital angewant um zu zeigen, dass:
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] = 0
Mein lieber Scholli, dafür brauchst Du " l´Hobital" (schau mal nach, wie man den Herrn richtig schreibt)
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2} \to \bruch{0}{1} \to[/mm]
> 0
>
> Daraus resultiert meine erste Vermutung, dass der Term
> gegen 0 konvergiert.
>
> Dann teste ich indem ich n = 1 bzw n=2 einsetze und die
> Ergebnisse dividiere.
>
> Der Faktor ist 2,25. 2,25 > 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Divergenz der
> Funktion. Die obrige Vermutung hat sich also nicht
> bestätigt.
>
> Jetzt stelle ich
>
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k - [mm]\bruch{n}{2})[/mm] nach
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] ( [mm]\bruch{n}{2})[/mm] um.
Was machst Du da ?????
Lies mal den Beitrag von reverend
FRED
>
> Jetzt kann ich dafür auch
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2} +...+\bruch{n-1}{2} + \bruch{n}{2}}{(n+2)}[/mm]
> schreiben.
>
> Da ziehe ich im Zähler/Nenner [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus und kann
> dann für den Zähler den "kleinen Gauß",
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] ansetztnen.
>
> Danach kürze ich eigentlich nur noch raus und komm dann
> auf [mm]\bruch{n+1}{4 + \bruch{4}{n}}[/mm] .
>
> 4/n [mm]\to[/mm] 0 also: 4 + [mm]\bruch{4}{n} \to[/mm] 4 während der
> zähler gegen [mm]\infty[/mm] geht.
>
> Also geht der Term für n = [mm]\infty \to[/mm] 0
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Ich denke ich bin drauf gekommen was, neben allen anderen Problemen mein Kernproblem ist. Die Frage ist, was ist die Summe in
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} [/mm] k - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ) ?
Wenn ich - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] mit rein nehme, dann kann ich [mm] \bruch{n^2}{2} [/mm] aus der Summe ziehen und von der Summe abziehen.
Wenn ich aber sage, dass die Summe nur aus [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k besteht, dann kann ich das nicht.
Wie seht ihr die Summe?
Hier nochmal die Angabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k - [mm] \bruch{n}{2})
[/mm]
Grüße
Semi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 18.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich denke ich bin drauf gekommen was, neben allen anderen
> Problemen mein Kernproblem ist. Die Frage ist, was ist die
> Summe in
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm]
> k - [mm]\bruch{n}{2}[/mm] ) ?
>
> Wenn ich - [mm]\bruch{n}{2}[/mm] mit rein nehme, dann kann ich
> [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] aus der Summe ziehen und von der Summe
> abziehen.
> Wenn ich aber sage, dass die Summe nur aus [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> k besteht, dann kann ich das nicht.
>
> Wie seht ihr die Summe?
>
> Hier nochmal die Angabe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k - [mm]\bruch{n}{2})[/mm]
>
> Grüße
> Semi
Hallo Semi,
machen wir mal langsam und betrachten nur die Summe. Ausführlich ausgeschrieben lautet sie:
(1-n/2)+(2-n/2)+(3-n/2)+....+(n-n/2).
Das sind n Summanden. Jeder Summand enthält vorn 1, 2,. 3, ... bzw. n und hinten einheitlich (und damit n mal) "-n/2"
Das sortieren wir mal auseinander:
1+2+3+...+n -n/2 -n/2-...-n/2 = 1+2+3+...+n -n(n/2)
Für die Summe der Zahlen 1 bis n gibt es eine Summenformel (die hat Carl Friedrich Gauß als 8-jähriger Schüler entdeckt): 1+2+...+n = n(n+1)/2
Damit wird aus der gesamten Summe:
(1-n/2)+(2-n/2)+(3-n/2)+....+(n-n/2).
=1+2+3+...+n -n/2 -n/2-...-n/2 = 1+2+3+...+n -n(n/2)
[mm] =\bruch{n(n+1)}{2}-\bruch{n^2}{2}=\bruch{n^2+n-n^2}{2}=\bruch{n}{2}
[/mm]
Vor dieser Summe steht noch der Faktor [mm] \bruch{1}{n+2},
[/mm]
das ergibt [mm] \bruch{n}{2(n+2)}.
[/mm]
Davon brauchst du jetzt den Grenzwert.
Gruß Abakus
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> > Ich denke ich bin drauf gekommen was, neben allen anderen
> > Problemen mein Kernproblem ist. Die Frage ist, was ist die
> > Summe in
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm]
> > k - [mm]\bruch{n}{2}[/mm] ) ?
> >
> > Wenn ich - [mm]\bruch{n}{2}[/mm] mit rein nehme, dann kann ich
> > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] aus der Summe ziehen und von der Summe
> > abziehen.
> > Wenn ich aber sage, dass die Summe nur aus [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> > k besteht, dann kann ich das nicht.
> >
> > Wie seht ihr die Summe?
> >
> > Hier nochmal die Angabe:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2}[/mm] *
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k - [mm]\bruch{n}{2})[/mm]
> >
> > Grüße
> > Semi
> Hallo Semi,
> machen wir mal langsam und betrachten nur die Summe.
> Ausführlich ausgeschrieben lautet sie:
> (1-n/2)+(2-n/2)+(3-n/2)+....+(n-n/2).
> Das sind n Summanden. Jeder Summand enthält vorn 1, 2,.
> 3, ... bzw. n und hinten einheitlich (und damit n mal)
> "-n/2" Klar. Ich hab mal wieder nicht den Unterschied zw. Laufindex und n als die "letzte Zahl" in der Reihe der Summanden, die sich nicht ändert, gesehen....Klar. Das gibt ein ganz anderes Bild.
> Das sortieren wir mal auseinander:
> 1+2+3+...+n -n/2 -n/2-...-n/2 = 1+2+3+...+n -n(n/2)
> Für die Summe der Zahlen 1 bis n gibt es eine
> Summenformel (die hat Carl Friedrich Gauß als 8-jähriger
> Schüler entdeckt): 1+2+...+n = n(n+1)/2
> Damit wird aus der gesamten Summe:
> (1-n/2)+(2-n/2)+(3-n/2)+....+(n-n/2).
> =1+2+3+...+n -n/2 -n/2-...-n/2 = 1+2+3+...+n -n(n/2)
>
> [mm]=\bruch{n(n+1)}{2}-\bruch{n^2}{2}=\bruch{n^2+n-n^2}{2}=\bruch{n}{2}[/mm]
> Vor dieser Summe steht noch der Faktor [mm]\bruch{1}{n+2},[/mm]
> das ergibt [mm]\bruch{n}{2(n+2)}.[/mm]
> Davon brauchst du jetzt den Grenzwert.
> Gruß Abakus
Danke. Den "kleinen Gauß" hab ich ja auch schon in meiner falschen Lösung erkannt. Da bin ich schon froh. Und wenn ich n mal [mm] \bruch{n}{2} [/mm] hab, hab ich n * n = [mm] n^2. [/mm] Das ist zum Glück auch klar. Ich hoffe ich merk mir jetzt endlich, dass n nicht gleich k ist, auch wenn´s verführend ist ;)
Viele Grüße
Semi
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Hallo Halbling 
da stimme ich Fred zu. Im einzelnen:
> Als erstes hab ich mal
> n [mm]\not=[/mm] 0 ! dazugeschrieben.
Wozu? Du hast zwar recht, aber nebenbei darf n auch nicht [mm] \tfrac{2}{3}, \wurzel{5} [/mm] oder -4 werden. [mm] n\in\IN [/mm] genügt als Angabe, darf hier aber getrost fehlen: es wird ja das Verhalten gegen unendlich untersucht, da interessieren Werte wie n=1 oder das hier nicht mögliche n=0 doch überhaupt nicht.
> Notiz (Erste Vermutung):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2} \to[/mm] l´H
> [mm]\bruch{0}{1}[/mm] = 0
Stuss ist die Begründung mit de l'Hospital, der ist hier überhaupt nicht anwendbar. Erstaunlicherweise stimmt der Grenzwert ja trotzdem. Aber...
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm]
> (k - [mm]\bruch{n}{2})) \to[/mm] 0
Wieso soll das denn darauf folgen?
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2})[/mm] *
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] k - [mm]\bruch{n}{2}) \to[/mm] 0
Nein, so geht das nicht. Es wäre ok, wenn Du noch nachweisen würdest, dass der rechte Limesausdruck existiert und endlich ist, aber auch nur dann. Ansonsten kannst Du einen Limes nicht so zerlegen!
> Zur Sicherheit schreib ich noch
>
> x*0 = 0 = 0*x ; x*0 + 0*x = x(0+0) = x*0 = 0 dazu.
Und gilt das auch für [mm] x=\infty?
[/mm]
Ab hier wirds jetzt völlig chaotisch. Was versuchst Du denn da? Ich verstehe noch nicht einmal Bahnhof.
> Jetzt teste ich noch auf Konvergenz/Divergenz durch
> probieren.
Probieren schadet nichts. Ein Test aber kann daraus nicht werden, erst recht kein Nachweis.
> n = 1
>
> [mm]\bruch{1}{1+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (1 - [mm]\bruch{1}{2})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ;
>
> [mm]\bruch{2}{2+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (2 - [mm]\bruch{2}{2})[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>
> [mm]\to [\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]2\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]\bruch{3}{8}][/mm] 2,25 >
> 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Divergenz. "Obrige Vermutung nicht
> bestätigt.
Das Wort "obrig" ist m.W. ursprünglich im oberdeutschen Sprachraum beheimatet und etwa im 17. Jahrhundert ausgestorben. Lebst Du auf einer Sprachinsel oder in einer Zeitblase? Erhalten ist es nur noch im Hauptwort "Obrigkeit", ansonsten vollständig verdrängt durch die Form "obig", also: Obige Vermutung nicht bestätigt.
Was war denn die obige Vermutung? Sehe ich recht, dass Du erst den Grenzwert bestimmst (zu Null), und dann prüfst, ob er existiert? Und dann auch noch herausbekommst, dass die Funktion divergent ist, also keinen Grenzwert hat?
> Untersuchen der Summe:
> k = n da k= 1 wenn n = 1
Nein!!!
k ist der Laufindex der Summe!
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm] (k -
> [mm]\bruch{n}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (n -
> [mm]\bruch{n}{2})[/mm]
Das stimmt doch schon für n=2 nicht mehr, und auch sonst für keines außer n=1!
= [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{2n-n}{2})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{n}{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2} + \bruch{2}{2} + ... + \bruch{n-1}{2} + \bruch{n}{2}}{(n+2)}[/mm]
> = [mm]\bruch{ \bruch{1}{2} * (1+2+3+...(n-1) + (n)}{\bruch{1}{2} * (2n+4)}[/mm]
>
> = "Kleiner Gauß"/(2n+4) = [mm]\bruch{\bruch{n(n+1}{2}}{2n+4}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+4)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1}{n(4+\bruch{4}{n}}[/mm]
Vom großen Gauß habe ich schon oft gelesen, aber da geht es um einen Mathematiker, der über meine Heimatstadt hinaus Bedeutung erlangt hat. Hatte er kleine Geschwister, die mir bisher entgangen sind?
> [mm][\overbrance{(n+1)}^{\to \infty}[/mm] / [mm]\underbrance{(4 + \bruch{4}{n})}_{\to 4}] \to[/mm]
> + [mm]\infty[/mm]
"brace" (ohne "n"!) ist eines der zahlreichen englischen Wörter für "Klammer". Es heißt daher overbrace und underbrace. Du meintest also mit dieser unverständlichen Notation offenbar
[mm] \left[\bruch{\overbrace{(n+1)}^{\to \infty}}{\underbrace{(4 + \bruch{4}{n})}_{\to 4}}\right] \to +\infty
[/mm]
> da 4/n [mm]\to[/mm] 0
>
> "Divergenz > Konvergenz"
Was heißt das: Divergenz ist größer als Konvergenz?
oder vielleicht: aus Divergenz folgt Konvergenz?
> Vielen Dank im Voraus.
> Grüße
> Semi
Weißt Du, was Du da schreibst? Mathematische Notation ist nicht nur eine Anhäufung eigenartiger Zeichen, sondern die genaue Aufzeichnung einer Gedankenwelt. Deine scheint gerade etwas kraus zu sein.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo Halbling
>
> da stimme ich Fred zu. Im einzelnen:
>
> > Als erstes hab ich mal
> > n [mm]\not=[/mm] 0 ! dazugeschrieben.
>
> Wozu? Du hast zwar recht, aber nebenbei darf n auch nicht
> [mm]\tfrac{2}{3}, \wurzel{5}[/mm] oder -4 werden. [mm]n\in\IN[/mm] genügt
> als Angabe, darf hier aber getrost fehlen: es wird ja das
> Verhalten gegen unendlich untersucht, da interessieren
> Werte wie n=1 oder das hier nicht mögliche n=0 doch
> überhaupt nicht. Weil im Buch Analysis 1 von Otto Forster die 0 eine natürliche Zahl ist und nebenbei ist dieses Buch Grundlage unserer Vorlesung
>
> > Notiz (Erste Vermutung):
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2} \to[/mm] l´H
> > [mm]\bruch{0}{1}[/mm] = 0
>
> Stuss ist die Begründung mit de l'Hospital, der ist hier
> überhaupt nicht anwendbar. Erstaunlicherweise stimmt der
> Grenzwert ja trotzdem Wenn ich den Limes eines Ganzrationalen Bruchs damit rechnen darf, dann darf ich auch alle Brüche die ich mit einer Summe multipliziere so rechnen weil das grundsätzlich nichts anderes ist. Mein Polynom ist halt nur endlich/unendlich lang . Aber...
>
> > [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm]
> > (k - [mm]\bruch{n}{2})) \to[/mm] 0
> Wieso soll das denn darauf folgen?
>
> > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+2})[/mm] *
> > [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] k - [mm]\bruch{n}{2}) \to[/mm] 0
> Nein, so geht das nicht. Es wäre ok, wenn Du noch
> nachweisen würdest, dass der rechte Limesausdruck
> existiert und endlich ist, aber auch nur dann. Ansonsten
> kannst Du einen Limes nicht so zerlegen (Da denke ich an l´Hospital. Also weil....darf ich das nicht?)!
>
> > Zur Sicherheit schreib ich noch
> >
> > x*0 = 0 = 0*x ; x*0 + 0*x = x(0+0) = x*0 = 0 dazu.
>
> Und gilt das auch für [mm]x=\infty?[/mm] Warum nicht?
>
> Ab hier wirds jetzt völlig chaotisch. Was versuchst Du
> denn da? Ich verstehe noch nicht einmal Bahnhof.
>
> > Jetzt teste ich noch auf Konvergenz/Divergenz durch
> > probieren. Quelle: http://www.youtube.com/watch?v=Rh57TB56puI&NR=1
>
> Probieren schadet nichts. Ein Test aber kann daraus nicht
> werden, erst recht kein Nachweis.
>
> > n = 1
> >
> > [mm]\bruch{1}{1+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (1 - [mm]\bruch{1}{2})[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ;
> >
> > [mm]\bruch{2}{2+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (2 - [mm]\bruch{2}{2})[/mm] =
> > [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
> >
> > [mm]\to [\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]2\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]\bruch{3}{8}][/mm] 2,25 >
> > 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Divergenz. "Obrige Vermutung nicht
> > bestätigt.
>
> Das Wort "obrig" ist m.W. ursprünglich im oberdeutschen
> Sprachraum beheimatet und etwa im 17. Jahrhundert
> ausgestorben. Lebst Du auf einer Sprachinsel oder in einer
> Zeitblase? Erhalten ist es nur noch im Hauptwort
> "Obrigkeit", ansonsten vollständig verdrängt durch die
> Form "obig", also: Obige Vermutung nicht bestätigt Na, dann. .
>
> Was war denn die obige Vermutung? Sehe ich recht, dass Du
> erst den Grenzwert bestimmst (zu Null), und dann prüfst,
> ob er existiert? Und dann auch noch herausbekommst, dass
> die Funktion divergent ist, also keinen Grenzwert hat?
>
> > Untersuchen der Summe:
> > k = n da k= 1 wenn n = 1
>
> Nein!!!
> k ist der Laufindex der Summe! Damit wollte ich ausdrücken, dass mein Laufindex genau da endet wo auch n endet und damit kann ich k als n schreiben und die Formel zu
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{2} [/mm] umschreiben
>
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n}[/mm] (k -
> > [mm]\bruch{n}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (n -
> > [mm]\bruch{n}{2})[/mm]
>
> Das stimmt doch schon für n=2 nicht mehr, und auch sonst
> für keines außer n=1!
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{2n-n}{2})[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{n+2} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{n}{2})[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\bruch{1}{2} + \bruch{2}{2} + ... + \bruch{n-1}{2} + \bruch{n}{2}}{(n+2)}[/mm]
> > = [mm]\bruch{ \bruch{1}{2} * (1+2+3+...(n-1) + (n)}{\bruch{1}{2} * (2n+4)}[/mm]
>
> >
> > = "Kleiner Gauß"/(2n+4) = [mm]\bruch{\bruch{n(n+1}{2}}{2n+4}[/mm] =
> > [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+4)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1}{n(4+\bruch{4}{n}}[/mm]
>
> Vom großen Gauß habe ich schon oft gelesen, aber da geht
> es um einen Mathematiker, der über meine Heimatstadt
> hinaus Bedeutung erlangt hat. Hatte er kleine Geschwister,
> die mir bisher entgangen sind? ja, die sind dir entgangen. http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
>
> > [mm][\overbrance{(n+1)}^{\to \infty}[/mm] / [mm]\underbrance{(4 + \bruch{4}{n})}_{\to 4}] \to[/mm]
> > + [mm]\infty[/mm]
>
> "brace" (ohne "n"!) ist eines der zahlreichen englischen
> Wörter für "Klammer". Es heißt daher overbrace und
> underbrace. Du meintest also mit dieser unverständlichen
> Notation offenbar Bist du Lehrer? Ich hoffe nicht
>
> [mm]\left[\bruch{\overbrace{(n+1)}^{\to \infty}}{\underbrace{(4 + \bruch{4}{n})}_{\to 4}}\right] \to +\infty[/mm]
>
> > da 4/n [mm]\to[/mm] 0
> >
> > "Divergenz > Konvergenz"
>
> Was heißt das: Divergenz ist größer als Konvergenz?
> oder vielleicht: aus Divergenz folgt Konvergenz?
> Wie soll aus Div. Konv. folgen? Das ist Sinnbildlich gesprochen
> > Vielen Dank im Voraus.
> > Grüße
> > Semi
>
> Weißt Du, was Du da schreibst? Mathematische Notation ist
> nicht nur eine Anhäufung eigenartiger Zeichen, sondern die
> genaue Aufzeichnung einer Gedankenwelt. Deine scheint
> gerade etwas kraus zu sein. Also muss auch meine Notation kraus sein...
>
> Liebe Grüße
> reverend
Ich möchte folgendes klären.
Ich habe nun nach 10 Jahren mein Abi nachgeholt und weiß von Notation nichts. Ich tu mich also schwer mit meinem Crash Course Abi hier etwas zu produzieren was ihr als brauchbar empfindet. Dennoch versuche ich mein Bestes, schließlich bin ich hier um zu lernen und nicht um mir meine Hausaufgaben machen zu lassen, wie auch schon anklang. Und wenn ich ein komisches Gemische zwischen Prosa und mathematischen Zeichen "auskotze" dann nur um mich an den Standart anzutasten. Es tut mir leid wenn ich euch nerve aber es muss sich keiner verpflichtet fühlen mir zu helfen, auch wenn ich darüber sehr sehr dankbar bin. Nur für heute ist es etwas too much.
Trotzdem, vielen Dank.
Semi
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