Konvergenz und grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Prüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
a) [mm] {(\frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+3n+5})}
[/mm]
[mm] b)\bruch{q^{n}}{n^{k}} k\in \IN q\in \left]+1,+\infty\right[ [/mm] beliebig aber fest |
Hallo leute, ich mache gerade mein Übungsblatt und komme bei einer Aufgabe nicht weiter ich hoffe ihr könnt mir da weiter helsen also ich hab schon was auf die Reihe bekommen aber ob das richtig ist weiss ich nicht...
Meine Idee
[mm] \frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+4n+5}\geq [/mm] 1 =
[mm] \frac{n^2\cdot(1+6n+\frac{4}{n^2})}{n^2\cdot(9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})}\geq [/mm] 1=
[mm] \frac{1+6n+\frac{4}{n^2}}{9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}\geq [/mm] 1
Nun bilde ich zwei Folgen und schaue mir die Grenzwerte an
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} [/mm]
[mm] a_{n}={1+6n+\frac{4}{n^2}}
[/mm]
[mm] b_{n}={9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}~(a_{n})=\lim_{n \to \infty}~({1+6n+\frac{4}{n^2}})
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}~(b_{n})=\lim_{n \to \infty}~({9\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}) [/mm] = 9
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{9} \leq [/mm] 1
Die Ungleichung stimmt also nicht, was heisst das nun???Und ist das überhaupt richtig das ich das [mm] \geq [/mm] 1 eingesetzt habe oder muss man das nicht machen ?
Das soweit zu a ich weiss jetzt aber nicht, ob es richtig ist und wie ich weiter machen muss.Damit habe ich bewiesen, daß diese Ungleichung gilt. Allerdings ist das ja nicht der gesuchte Grenzwert.
Wie kann ich denn jetzt erkennen ob es einen Grenzwert hat und wenn ja wie kann ich diesen finden.
Zu b) habe ich irgendwie keine ahnung die aufgabe verwirrt mich ehr...Hab das thema nicht so gut verstanden wäre wirklich toll wenn ihr mir helfen könntet..
Vielen vielen Dank.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Sprudel und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Prüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert.
>
> a) [mm]{(\frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+3n+5})}[/mm]
>
> [mm]b)\bruch{q^{n}}{n^{k}} k\in \IN q\in \left]+1,+\infty\right[[/mm]
> beliebig aber fest
> Hallo leute, ich mache gerade mein Übungsblatt und komme
> bei einer Aufgabe nicht weiter ich hoffe ihr könnt mir da
> weiter helsen also ich hab schon was auf die Reihe bekommen
> aber ob das richtig ist weiss ich nicht...
>
> Meine Idee
>
>
> [mm]\frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+\red{3}n+5}\geq[/mm] 1 =
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wozu das [mm]\ge 1[/mm] und was soll das "=" bedeuten?
>
> [mm]\frac{n^2\cdot(1+6n+\frac{4}{n^2})}{n^2\cdot(9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})}\geq[/mm]
> 1=
>
> [mm]\frac{1+6n+\frac{4}{n^2}}{9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}\geq[/mm]
> 1
>
>
Das Ausklammern und Wegkürzen von [mm]n^2[/mm] ist eine gute Idee!
> Nun bilde ich zwei Folgen und schaue mir die Grenzwerte an
>
>
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}}[/mm]
Wenn die beiden Grenzwerte existieren!
>
> [mm]a_{n}={1+6n+\frac{4}{n^2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]b_{n}={9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}[/mm]
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}~(a_{n})=\lim_{n \to \infty}~({1+6n+\frac{4}{n^2}})[/mm]
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}~(b_{n})=\lim_{n \to \infty}~({9\red{+}\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}})[/mm] = 9
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}}[/mm] = [mm]\frac{1}{9}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Folge [mm](a_n)[/mm] divergiert doch ersichtlich gegen [mm]\infty[/mm], die 1 ist konstant, das [mm]\frac{4}{n^2}[/mm] geht gegen 0, aber [mm]6n[/mm] strebt doch gegen [mm]\infty[/mm]
>
> Die Ungleichung stimmt also nicht, was heisst das nun???Und
> ist das überhaupt richtig das ich das [mm]\geq[/mm] 1 eingesetzt
> habe oder muss man das nicht machen ?
Ich weiß gar nicht, wozu du irgendwelche Ungleichungen ins Spiel bringst.
Erkläre das mal !
>
> Das soweit zu a ich weiss jetzt aber nicht, ob es richtig
> ist und wie ich weiter machen muss.Damit habe ich bewiesen,
> daß diese Ungleichung gilt. Allerdings ist das ja nicht
> der gesuchte Grenzwert.
> Wie kann ich denn jetzt erkennen ob es einen Grenzwert hat
> und wenn ja wie kann ich diesen finden.
>
> Vielen vielen Dank.....
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Also ich habe eine Kommolitonin gefragt die behautet hat das die das tehma verstanden hat und die meinte das man eine Ungleichung aufstellen muss damit man sieht ob es gegen [mm] +\infty [/mm] konvergiert. und wenn am ende die ungleichung doch gestimmt hätte [mm] d.h.\ge1 [/mm] dann hätte ich ein beweis dass es konvergiert aber ich hab das auch nicht so ganz geglaubt deswegen hab ich die frage auch hier rein gestellt das = sollte eigentlich nur zeigen das ich das der nächste schritt jetzt folgt....
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he he..ich denke deine Kommilitonin meinte eher, dass man mit größer oder kleiner 1 schaut, ob eine Folge divergent oder konvergent ist!! ^^
aber schreib dir doch mal die Gleichung am Ende ausführlich auf...sprich ohne an und bn....
alles was durch n oder n² geteilt wird (wie z.B 3,5 und 4 =) = fällt ja weg, weil es gegen 0 läuft!!
wie würde denn nun die Gleichung aussehen...lass gleich mal die "Brüche" mit dem Nenner n weg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Hallo Melanie,
das kann gut sein, dass sie im grunde das gemeint aht aber sie hat es so gesagt wie ich es aufgeschrieben habe. Hab mir extra notizen gemacht weil ich das tehma halt nicht so gut verstanden habe...
also wenn ich das so aufschreibe wie du sagts dann bleibt am ende ja
[mm] \lim_{n \to \infty}~(a_{n})=\lim_{n \to \infty}~1+6n [/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty}~(b_{n})=\lim_{n \to \infty}~9
[/mm]
Meinst du das etwa so ?
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Noch wach ;)
super genau so meinte ich das!
Keine Angst wir helfen dir schon =)
ich hatte auch einige Zeit gebraucht bis ich es mal inne hat - also nicht verzagen!!!
...= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 ( 1 + 6n + \bruch{4}{n^2})}{n^2(9+\bruch{3}{n}+\bruch{5}{n^2})}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 + 6n}{9}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{3}n[/mm]
soooo gegen was läuft denn dass jetzt?
Denke das schaffst du! =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Das läuft doch dann gegen [mm] +\infty
[/mm]
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korrekt!! :) :) :)
noch Fragen?
Ansonsten gute Nacht
Melanie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Ja...also muss ich keine Grenzwerte mehr aufstellen ???
Kannst du mir vllt noch einen Tipp zu b) geben...
Ich bedanke mich ganz herzlich für die tolle hilfe und wünsche dir eine gute nacht.....
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Immer gern!! =)
welche Grenzwerte willst du denn noch aufstellen?? *ein nettes Lächeln*
DER!! Grenzwert läuft gegen unendlich und mehr gibt es da nicht zu machen! =)
Aber weist du vielleicht was wir bei Aufgabe a noch vergessen haben?
Wir haben gerade den zweiten Teil der Aufgabe a) gelöst...
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Prüfen Sie die Folgen auf Konvergenz....
Das haben wir vergessen -.-
Darf dir in der Klausur ned passieren!! =)
also weist du wie du vorangehen musst?
Tipp: Da kommt jetzt deine nette Kommilitonin ins Spiel!!
...schon mal was vom Qutientenkriterium oder Wurzelkriterium gehört?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:24 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Neee das tehma haben wir noch nicht gehabt, meinst du das jetzt zu aufgabe a oder b???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Und das doofe ist wir dürfen nur sachen verwnden die wir in der vorlesung gehabt haben...
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ich meinte zur Aufgabe eins!
entschuldige! Aber die zwei Kriterien brauchst du ja für Reihen..hattest du die schon? Eine Reihe ist sozusagen die Addition aller Glieder einer Folge!
Da unser Teil a[mm]_{n}[/mm] gegen unendlich läuft ( Grenzwert) ist unsere Folge divergent!
weist du den Unterschied zwischen divergent und konvergent?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:42 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Ja bei divergent kommt z.b. kein ergebnis raus und bei konvergent
Zahlenfolgen bei denen man das nicht kann sind divergent (also wenn kein ergebnis rauskommt)
Zahlenfolgen deren Grenzwert man wertmäßig angeben kann sind konvergent
kommt man vllt mit dem grenzwertsatz hier weiter ???
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Grenzwertsätze bräuchtest du wenn z.B in unserer Folge " an + bn " stehen würde...
konvergent bedeutet, dass ein fester Wert raus kommt..
Eine besondere Folge ist die Nullfolge, weil ihr Grenzwert - wie ihr Name schon sagt - gegen Null läuft!
unbestimmt divergent heißt, dass der GW der Folge gegen [mm]\infty[/mm]läuft - stell dir ne Winkelhalbierende vor ^^
bestimmt divergent heißt, dass die Glieder der Folge entweder...
- alle in einem sogenannten Schlauch liegen, sprich alle Glieder sind z.B. nicht weiter als 1 von der x-Achse entfernt, dann nennen wir die Folge bestimmt divergent mit Häufungspunkten
- oder alle Glieder haben eine verschiedene Länge z.B. von der x-Achse...also Glied eins bei x = 1 und y = 5, Glied zwei bei x = 2 und y = 2,Glied drei bei x = 3 und y = 10,...
hoffe du verstehst es.
Aufgabe a ist fertig!
weil wie du es so schon einzeln gezeigt hast läuft dein [mm] a_n [/mm] gegen unendlich...
Grüße
Melanie
ps: guck mal in deine Nachrichten!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Prüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
a) $ [mm] {(\frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+3n+5})} [/mm] $
$ [mm] b)\bruch{q^{n}}{n^{k}} k\in \IN q\in \left]+1,+\infty\right[ [/mm] $ beliebig aber fest |
Also ist die Aufgabe a) jetzt so richitg und auch komplett.
[mm] \frac{n^2+6n^3+4}{9n^2+4n+5}
[/mm]
[mm] \frac{n^2\cdot(1+6n+\frac{4}{n^2})}{n^2\cdot(9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})}
[/mm]
[mm] \frac{1+6n+\frac{4}{n^2}}{9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} [/mm] $
[mm] a_{n}={1+6n+\frac{4}{n^2}} [/mm]
[mm] b_{n}={9+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 ( 1 + 6n + \bruch{4}{n^2})}{n^2(9+\bruch{3}{n}+\bruch{5}{n^2})} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 + 6n}{9} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{3}n [/mm]
Und was ist mit b) könntet ihr mir da bitte weiter helfen denn damit komme ich gar nicht klar :(....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Hallo Loddar,
zunächst mal danke für deine Antwort und ich hab das jetzt so aufgeschrieben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{3}n [/mm]
weil die Melanie mir den Tipp gegeben hat das so zu machen. Also muss ich das weglassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 14.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sprudel!
Ja, Du solltest das weglassen.
Wie lautet denn nun der Grenzwert von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch [/mm] {1+6*n}{9}$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Sorry Loddar war kurz weg
das muss doch so heissen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {1+6\cdot{}n}{9} [/mm]
also 1+6n läuft gegen [mm] +\infty
[/mm]
d.h. zusammen gegen [mm] +\infty
[/mm]
und die 9 läuft halt gegen die 9
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 14.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sprudel!
So stimmt es nun.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Danke schön loddar,
hab mal ne frage könntsest du mir, nur wenn du zeit und lust hast vielleicht noch einen tipp zu b) geben?
Lg Sprudel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Kann mir denn jemand bitte bitte erklären wie ich bei b vorgehen muss....
Danke schönnnnn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
Setze [mm] a_n:= \bruch{q^n}{n^k}.
[/mm]
Überzeuge Dich von [mm] \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] q
Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \wurzel[n]{a_n} \ge \bruch{1+q}{2} [/mm] für n >N
Also: [mm] a_n \ge [/mm] ( [mm] \bruch{1+q}{2})^n [/mm] für n >N
Jetzt benutze noch, dass q>1 ist
FRED
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