Konvergenz uneigentl Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 30.04.2009 | | Autor: | reason |
hallöle
da ich gestern bereits sehr wertvolle tips bekommen habe, heute ein weiterer versuch.
ich soll die konvergenz des integrals [mm] \integral_{0}^{\infty}{x/(1-e^x) dx} [/mm] abschätzen nur finde ich keine vergleichbare funktion über die ich abschätzen kann bzw keine konvergente majorante zum integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{x/(e^x -1) dx} [/mm] das ich einfach mal umgedreht habe damits schöner aussieht..
hat jemand einen ansatz?
danke für die mühe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> ich soll die konvergenz des integrals
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x/(1-e^x) dx}[/mm] abschätzen nur finde
> ich keine vergleichbare funktion über die ich abschätzen
> kann bzw keine konvergente majorante zum integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x/(e^x -1) dx}[/mm] das ich einfach mal
> umgedreht habe damits schöner aussieht..
Hallo reason,
Für alle positiven x ist $\ [mm] e^x>\ x^2+1$ [/mm] !
Damit lässt sich eine konvergente Majorante konstruieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 30.04.2009 | | Autor: | reason |
danke für den schnellen rat.
ich hab mal eingesetzt und krieg aber das raus:
[mm] e^x [/mm] > [mm] x^2 [/mm] +1 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{e^x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{e^x} [/mm] < [mm] \bruch{x}{x^2+1} \Rightarrow \bruch{x}{e^x -1} [/mm] < [mm] \bruch{x}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
ergibt [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = ln(x)|1 bis unendlich
= [mm] ln(\infty)-ln(1) [/mm] und der [mm] ln(\infty) [/mm] geht gegen unendlich ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
wo vertue ich ich denn da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Do 30.04.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja dann probier doch mal die naheliegende Abschätzung [mm] e^x>1+x^3
[/mm]
Gruß, Robert
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Oh, Entschuldigung - das war ein kleiner Irrtum.
Betrachtung der Exponentialreihe
$\ [mm] e^x=\ 1+x+\bruch{x^2}{2\,!}+\bruch{x^3}{3\,!}+\bruch{x^4}{4\,!}+\bruch{x^5}{5\,!}+\,......$
[/mm]
zeigt aber z.B. auch, dass
$\ [mm] e^x>\ 1\,+\,\bruch{x^3}{3\,!}\ [/mm] =\ [mm] 1\,+\,\bruch{x^3}{6}$
[/mm]
für alle positiven x .
LG Al
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