Konvergenz unendlicher Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 So 25.01.2009 | | Autor: | stevies |
| Aufgabe | Aus einer alten Analysisklausur:
Konvergiert die folgende Reihe?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-3^k}{4^k}
[/mm]
Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Reihenwert. |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier an die Aufgabe dran gehen soll. Nach meiner Meinung dürfte die Reihe gegen null konvergieren. Welches Kriterium könnte man für den Beweis verwenden und wie berechne ich den Reihenwert (evtl. Partialbruchzerlegung?)
Danke für eure Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stevies,
> Aus einer alten Analysisklausur:
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> Konvergiert die folgende Reihe?
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-3^k}{4^k}[/mm]
>
> Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Reihenwert.
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier an die Aufgabe
> dran gehen soll.
Das ist nicht dein Ernst, oder?
> Nach meiner Meinung dürfte die Reihe gegen
> null konvergieren. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Welches Kriterium könnte man für den
> Beweis verwenden und wie berechne ich den Reihenwert (evtl.
> Partialbruchzerlegung?)
Welche Kriterien kennst du denn? Für den Nachweis der Konvergenz kannst du das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium hernehmen, die funktionieren hier beide bestens
Zur Berechnung des Reihenwertes gebe ich nur einen Hinweis:
Schaue mal im Skript unter "geometrische Reihe"
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> Danke für eure Antworten
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 25.01.2009 | | Autor: | stevies |
Ich versuche die Aufgabe einmal über das Quotienkriterium zu lösen:
[mm] \bruch{-3^{k}}{4^k} [/mm] = | [mm] \bruch{-3^{k+1}}{4^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch {4^k} {-3^{k}} [/mm] | = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Hoffe das dies so stimmt.
Wie gehe ich aber an den Reihenwert ran?
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Hallo nochmal,
> Ich versuche die Aufgabe einmal über das Quotienkriterium
> zu lösen:
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> [mm] \red{\bruch{-3^{k}}{4^k}=} [/mm] | [mm] [\bruch{-3^{k+1}}{4^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch {4^k} {-3^{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
Das rote ist Unsinn!
Es stimmt vom Ergebnis, aber ist furchtbar aufgeschrieben, du musst ja (was hier egal ist - sonst aber i.A. nicht) den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}$ [/mm] betrachten!
Und was bedeutet dieses Ergebnis nun?
>
> Hoffe das dies so stimmt.
>
> Wie gehe ich aber an den Reihenwert ran?
Beachte meinen Hinweis
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 25.01.2009 | | Autor: | stevies |
Komme leider hier noch nicht ganz mit den Formeln klar. Darum das ganze noch einmal:
Ansatz über Quotientenkriterium
[mm] \bruch{a^{n+1}}{a^n} [/mm] = | [mm] \bruch{-3^{k+1}}{4^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch {4^k} {-3^{k}} [/mm] | = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
Weil
[mm] \bruch{a^{n+1}}{a^n} \le \bruch{3}{4} \le [/mm] 1
ist die geometrische Reihe absolut konvergent und weil |q| [mm] \le [/mm] 1 konvergiert die geometrische Reihe auch gegen null.
Hoffe das dies so jetzt stimmt.
Für den Reihenwert habe ich jedoch nach wie vor keinen Ansatz, auch wenn ich jetzt weiß das es sich um eine geometrische Reihe handelt. Eigentlich müsste ich ja nur das n-te Glied berechnen, um die vollständige Summe zu erhalten. Die Frage ist nur wie...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 25.01.2009 | | Autor: | stevies |
Sorry das ich dir wahrscheinlich mittlerweile auf die Palme gehe... Aber habe noch zwei Fragen:
1. Ist es nur Zufall, dass der erste Wert einer geometrischen Reihe auch gleich q entspricht?
2. Bei der geometrischen Reihe gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm]
Was in unserem Fall bedeuten würde:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{3}{4}^} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{7}
[/mm]
Mal gespannt was ich dieses mal falsch habe...
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Hallo nochmal,
> Sorry das ich dir wahrscheinlich mittlerweile auf die Palme
> gehe...
Tust du nicht
> Aber habe noch zwei Fragen:
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> 1. Ist es nur Zufall, dass der erste Wert einer
> geometrischen Reihe auch gleich q entspricht?
Eher der zweite, es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=q^0+q^1+q^2+....=1+q+q^2+....$
[/mm]
>
> 2. Bei der geometrischen Reihe gilt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
für $|q|<1$
Aha, HEUREKA! Da ist ja die heiß- und langersehnte Formel 
>
> Was in unserem Fall bedeuten würde:
>
> [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\red{\left(}-\bruch{3}{4}\red{\right)}^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \red{+}\bruch{4}{7}$
[/mm]
Kleiner VZF, aber sonst (endlich) richtig
>
> Mal gespannt was ich dieses mal falsch habe...
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 So 25.01.2009 | | Autor: | stevies |
Da will ich mich natürlich nicht vergessen zu bedanken.
Ganz großes und dickes Dankeschön von mir! :D
Gruß Stevie
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
