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Konvergenz untersuchen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Fr 26.11.2004
Autor: destiny

Hallo!

Ich soll die folgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen, dennoch weiß ich nicht, welches Konvergenz-Kriterium ich jeweils anwenden soll.
Kann mir bitte jemand erklären, woran ich sehen kann, wann und wo ich welches Kriterium verwenden soll?

Folgende Reihen sind zu untersuchen:

(a)  [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ (n!)^{2}}{(2n)!} [/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \vektor{2n \\ n} 9^{-n} [/mm]

Bei der (a) habe ich es mit Quotientenkriterium versucht, wobei  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] meine Majorante ist. Ist das richtig?
Bei der (b) komm ich mit Quotientenkriterium nicht weiter. Wie schreibe ich den Term um?

Danke.
Destiny

        
Bezug
Konvergenz untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Sa 27.11.2004
Autor: Stefan

Hallo Destiny!

Nicht verzweifeln...

Wendet man auf die erste Reihe das Quotientenkriterium an, so erhält man:

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}$ [/mm]

und

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm]  = [mm] \frac{1}{4}<1$. [/mm]

Bei der zweiten Reihe hat man

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{9} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1}$ [/mm]

imd

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{4}{9} [/mm] < 1$.

Beide Reihen konvergieren also nach dem Quotientenkriterium.

Übrigens: Es gibt keine Patentrezepte... [wein]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Konvergenz untersuchen: Frage zu Antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Sa 27.11.2004
Autor: destiny

Hallo!

Danke für Ihre Hilfe. Allerdings hätte ich da noch einige Frage zu Ihrer Lösung.

Ich hab die Aufgabe a genauso wie Sie, allerdings habe ich
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gesetzt, anstatt  [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] wie Sie es gemacht haben. Ist das auch richtig, da [mm] \bruch{1}{4} \le \bruch{1}{2} [/mm] ist?

dann zur aufgabe b)
Ich weiß nicht, ob ich verrechnet habe oder nicht, aber ich kriege für
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] =  [mm] \bruch{2}{9} \bruch{2n+1}{n+1} [/mm] raus, nachdem ich viel rumgekürzt habe und so.
Wenn ich dann den limes von diesem Term nehme, bekomme ich aber auch wie Sie  [mm] \bruch{4}{9} [/mm] raus.
Habe ich bei der Umformung einen Fehler gemacht?

Danke schön!

Destiny

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Sa 27.11.2004
Autor: Stefan

Hallo destiny!

Hier im Matheraum wird ein "du" gepflegt. :-)

> Ich hab die Aufgabe a genauso wie Sie, allerdings habe
> ich
>   [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] =  [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gesetzt,

Ich habe das ja nicht gesetzt, sondern gezeigt, dass

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}$ [/mm]

ist. Daraus folgt dann: Für ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{4} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] < 1$

für alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] und das bedeutet nach dem Quotientenkriterium, dass die Reihe konvergiert. Wenn du jetzt direkt gezeigt hast, dass

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{1}{2} [/mm] < 1$

ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] gezeigt hast, dann ist das auch richtig.

> dann zur aufgabe b)
>  Ich weiß nicht, ob ich verrechnet habe oder nicht, aber
> ich kriege für
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] =  [mm]\bruch{2}{9} \bruch{2n+1}{n+1}[/mm]
> raus, nachdem ich viel rumgekürzt habe und so.

[ok]

>  Wenn ich dann den limes von diesem Term nehme, bekomme ich
> aber auch wie Sie  [mm]\bruch{4}{9}[/mm] raus.
>  Habe ich bei der Umformung einen Fehler gemacht?

Ich habe genau das Gleiche gemacht. :-)

Liebe Grüße
Stefan
  

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