Konvergenz v. Funktionenfolgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge [mm] (f_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] von Funktionen [mm] f_n: [/mm] R [mm] \to [/mm] R mit
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n^a} \sin{nx}
[/mm]
Für welche a [mm] \in [/mm] N gilt:
[mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{d}{dx} f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{d}{dx}\lim\limits_{n \to \infty}{f_n(x)} [/mm] ?
Für welche k [mm] \in [/mm] N konvergiert die Folge [mm] (\frac{d^k}{dx^k} f_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] |
Berechne ich [mm] \frac{d}{dx} f_n{x} [/mm] erhalte ich [mm] f_n'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{a-1}}cos(nx).
[/mm]
[mm] \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}
alternierend & \text{wenn } a=0 \\
0 & \text{wenn } a>0 \\
\infty & \text{wenn } a<0 \\
\end{cases}
[/mm]
[mm] \lim\limits_{n \to \infty} f_n'(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}
alterniered & \text{wenn } a=1 \\
0 & \text{wenn } a>1 \\
\infty & \text{wenn } a<1 \\
\end{cases}
[/mm]
Soweit so gut.
Ich frage mich nur, was ich für [mm] \frac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} {f_n(x)} [/mm] machen soll. Soll ich die Fallunterscheidung ableiten?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Gehört bei Euch die 0 zu den natürlichen Zahlen ?
Überlege: Für a>0 konvergiert die Funktionenfolge auf R gleichmäßig!
FRED
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