Konvergenz von 3 Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich muss den Grenzwert von 3 Folgen bestimmen (besser gesagt, ich muss zunächst schauen, ob sie konvergent sind.)
1. [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{7n^{5}(n!+1)(n^{3}-n^{2})}{(n^{3}+2)(n^{5}+\Wurzel{n+1})n!} [/mm] Ich bekomme die Fakultät nicht herausgekürzt. Bei n! - 1 wäre das kein Problem, aber bei n! + 1. habt ihre eine Idde, wie ich das umformen könnte?
2. [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ \summe_{k=1}^{n}(2k-1)}{ \summe_{r=1}^{n}2r}
[/mm]
Hier habe ich überhaupt keine Idee. Könnte ich eigentlich, wenn ich Zähler nur die Summe von 2k stehen würde, alles kürzen? Oder ist k = r?
3. Zeigen sie die Konvergenz der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2^{i}}-\bruch{2}{i!}). [/mm] Das kann ich doch "auseinanderziehen", oder? Also dann hat man 2 Summen, wobei die erste gegen 1 und die 2. gegen e(uler) konvergiert. Ist somit die Konvergenz der gesamten Folge gezeigt?
Danke für eure Antworten
(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Tanja09 |
lass mich raten ana eins bei schmoeger in ka :) ich auch...
also bei der ersten aufgabe kannst du einfach durch n! teilen, dann durch [mm] n^5 [/mm] , [mm] n^3 [/mm] dann erhhaelst du einen bruch, indem alle klammern gegen eins gehen und die sieben noch bleibt, also geht das ganze gegen 7. ...
bei der anderenkannst du erstmal das summenzeichen oben auseinander zehen und dann durch [mm] \summe_{r=1}^{n}2r [/mm] teilen dann erhaelst du
1- [mm] \frac{1}{ \summe_{r=1}^{n-1}2r} [/mm] was dann gegen 1 geht .
bei der anderen weiss ich leider auch nicht, ob man das so hinschreiben kann...
ausserdem fehlen mir von der aufgabe 10) noch b,c,d vielleicht kannst du mir ja da helfen :)
tanja
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Hi Tanja,
wie meinst du das durch n! teilen? So
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{7n^{5}(1+1)(n^{3}-n^{2})}{(n^{3}+2)(n^{5}+\Wurzel{n+1})1} [/mm] Man kann doch aus einer Summe nicht kürzen, oder?
Oder meinst du alles einzeln durch n!?also [mm] \bruch{7n^{5}}{n!} [/mm] usw?
Übrigens: Bei 10 a-b hab ich jeweils das Gegebeispiel [mm] (-1)^{n} [/mm] genommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Kassandra!
> [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{7n^{5}(n!+1)(n^{3}-n^{2})}{(n^{3}+2)(n^{5}+\wurzel{n+1})n!}$ [/mm]
> wie meinst du das durch n! teilen? So
> [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{7n^{5}(1+1)(n^{3}-n^{2})}{(n^{3}+2)(n^{5}+\wurzel{n+1})1}[/mm]
> Man kann doch aus einer Summe nicht kürzen, oder?
> Oder meinst du alles einzeln durch n!?also
> [mm]\bruch{7n^{5}}{n!}[/mm] usw?
Man macht es so:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{7n^{5}(n!+1)(n^{3}-n^{2})}{(n^{3}+2)(n^{5}+\wurzel{n+1})n!} [/mm] = [mm] \bruch{7n^5}{n^5 +\wurzel{n+1}} \cdot \frac{n!+1}{n!} \cdot \frac{n^3 - n^2}{n^3+2} [/mm] = [mm] \bruch{7}{1 + \frac{\wurzel{n+1}}{7n^5}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{n!}}{1} \cdot \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^3}}$.
[/mm]
Nun existieren alle drei Grenzwerte und es gilt nach den Grenzwertsätzen:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \bruch{7}{1 + \frac{\wurzel{n+1}}{7n^5}} [/mm] = 7$,
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n!}}{1} [/mm] =1$,
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^3}} [/mm] =1$.
Daher gilt wiederum nach den Grenzwertsätzen:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \bruch{1}{1 + \frac{\wurzel{n+1}}{7n^5}} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n!}}{1} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^3}} [/mm] =7 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Tanja09 |
nein, natuerlich kannst du es nicht einfach so rauskuerzen aber du musst es ja nur aus einem faktor rauskuerzen dann hast du hinterher [mm] (\frac{1}{n!}-1) [/mm] bei dem einem faktor stehen, was gegen eins geht...
mhh, hatte auch bei der a das gegenbeispiel, bei der b auch erst, aber ich hatte dann gedahct, dass mein beispiel falsch war *gruebl* weiss aber nicht mehr wieso... muss ich gleich noch mal angucken... hast du icq? dann koennen wir sowas vielleciht shcneller klaeren :)
tanja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Tanja09 |
+1 hiess es natuerlich und deshalb gegen eins *dummdidumm* ach,meine icq nr is: 108483415...
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