Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Z.z.: eine Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent,wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt
Ich hätte irgendwie den Satz von Bolzano-Weierstraß mit eingebaut, damit habe ich schon einmal bewiesen, dass sie Folge eine Teilfolge besitzt, die gegen einen bestimmten Wert konvergiert, nur weis ich nicht mehr weiter.
Ich hoffe auf Eure Verbesserungsvorschläge und Tipps.
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 08.11.2005 | | Autor: | saxneat |
z.z: Eine Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt (HP) besitzt.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
aus Konvergenz folgt Beschränktheit und genau ein HP
sei [mm] a_{n} [/mm] konvergent und [mm] \limes a_{n}=a [/mm] dann:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n(\varepsilon), [/mm] so dass [mm] \forall n>n(\varepsilon)
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] (a_{n}-a)<\varepsilon\to a_{n}
und
[mm] -(a_{n}-a)<\varepsilon\to a_{n}>a-\varepsilon [/mm] (ii)
/**
Da [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert liegen in der [mm] \arepsilon [/mm] - Kugel um a fast alle Folgeglieder oder anders gesagt höchstens endlich viele Folgeglieder [mm] (a_{1}...a_{s}) [/mm] liegen ausserhalb der [mm] \varepsilon [/mm] - Kugel um a.**/
Sei [mm] a_{1} [/mm] das grösste dieser Folgeglieder. dann existiert eine Zahl [mm] b^{-} \in \IR [/mm] mit [mm] a_{1}
Sei [mm] a_{s} [/mm] das kleinste Folgeglied . Dann existiert eine Zahl b_ [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] a_{s}>a+b_.
[/mm]
mit (i) folgt:
[mm] \forall a_{n}: a_{n}<(a+b_)+\varepsilon \to [/mm] nach unten beschränkt
und
[mm] \f0rall a_{n} a_{n}>(a+b^{-})+\varepsilon \to [/mm] nach oben beschränkt
Eine Zahl [mm] \alpha [/mm] heisst HP einer Folge wenn in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Kugel um [mm] \alpha [/mm] liegen.
Wegen /**...**/ kann es keinen von a verschiedenen HP in unserer Folge [mm] a_{n} [/mm] geben.
bleibt noch der Rückweg zu zeigen
[mm] \Leftarrow
[/mm]
wenn [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist und genau einen HP besitzt - ist [mm] a_{n} [/mm] konvergent
MfG
saxneat
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo!
Für mich war bei dieser Aufgabe der Hinweg [mm] \Rightarrow [/mm] einigermaßen klar,
aber ich weiß nicht, wie man den Rückweg zeigen kann.
Wenn die Folge beschränkt ist, kann sie ja auch divergieren. Zumindest sagt die Beschränkung, dass die Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
Und jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen HP.
Wenn ich jetzt genau einen HP habe, dann ist das ja eigentlich der Limes der Folge / Teilfolge ?!?!
Das sind die Dinge, die bei mir ungeordnet im Kopf herumschwirren. Denn ich weiß nicht so recht, wie man sie zusammenbauen kann, so dass folgt, dass die Folge konvergent ist.
Weiß jemand Rat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gibt eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $\lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} [/mm] = a$,
wobei $a$ der einzige Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist. Würde nun [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht gegen $a$ konvergieren, dann gäbe es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und unendlich viele Folgenglieder [mm] $(a_{l_i})_{i \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $|a_{l_i} [/mm] - a| [mm] \ge \varepsilon$.
[/mm]
Betrachte nun die Folge [mm] $(a_{l_i})_{i \in \IN}$. [/mm] Diese muss nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine Teilfolge besitzen, die gegen einen von $a$ verschiedenen Grenzwert $b$ konvergiert. Dann wäre aber $b$ ein von $a$ verschiedener Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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