Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 08.01.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Beweise folgende Aussagen:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1} [/mm] = 1
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] = 0 |
Ich möchte diese Aufgaben mit Hilfe der Definition lösen.
Folgender Ansatz habe ich bereits:
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.
Zu zeigen: [mm] |\bruch{n}{n+1}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt habe ich an die Dreiecksungleichung gedacht:
[mm] \Rightarrow |\bruch{n}{n+1}-1| [/mm] < [mm] |\bruch{1}{n+1}|+|1|
[/mm]
Wäre ich da auf dem richtigen Weg? Oder wie wäre es besser?
Bei Aufgabe b) hätte ich an das Archimedische Axiom gedacht...!?
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Man zeigt solche Konvergenzbeweise wie in a) eigentlich immer so:
1. Hinschreiben
2. von Folge und Grenzwert Hauptnenner bilden und zusammenaddieren
3. Betrag auflösen
4. Abschätzen
5. Archimedisches Axiom u.a.
a)
[mm] |\bruch{n}{n+1} [/mm] - 1|
= [mm] |\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n-(n+1)}{n+1}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{-1}{n+1}|
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
< [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
< [mm] \epsilon [/mm] (nach Arch. Axiom) q.e.d.
Für b) hätte ich folgende Idee:
[mm] |\bruch{n}{2^{n}} [/mm] - 0|
= [mm] \bruch{n}{2^{n}}
[/mm]
Nun abschätzen:
Ab n = 5 ist [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm]
Da man beim Beweis nur zeigen muss, dass unendlich viele Folgenglieder in der [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung des Grenzwerts liegen, ist es völlig egal, ob da nun die ersten 4 fehlen oder nicht. Man kann also schreiben:
= [mm] \bruch{n}{2^{n}} [/mm] (für n > 4)
< [mm] \bruch{n}{n^{2}}
[/mm]
(Warum es ausgerechnet eine Abschätzung mit [mm] n^{2} [/mm] sein musste, sieht man nun hier: man kann schön kürzen!)
= [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
< [mm] \epsilon [/mm] (nach Arch. Axiom) q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | jokerose |
hey, vielen dank für die tolle Hilfe. Wirklich super erklärt!!!!!
GREAT!!!!!!!!!!!
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