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Hallo, ich habe noch einwenig Probleme mit der Konvergenz von Folgen bzw. auch mit diesem [mm] \varepsilon-Kriterium. [/mm] Das braucht man ja nicht nur bei Folgen, sondern ja auch bei Stetigkeit usw. Aber zu meiner Aufgabe. In unserem Skript ist folgende Folge:
[mm] \bruch{n}{3n+2} [/mm] von n=1 bis unendlich.
so dann sagen die, der grenzwert ist [mm] \bruch{1}{3} [/mm] durch folgenden beweis.
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{n}{3n+2} [/mm] = [mm] \bruch{(3n+2)-3n)}{3(3n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9n+6} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4n}
[/mm]
Wusste nicht, wie man betragsstriche hier macht, deshalb müsste man sich da die auch noch hindenken.
So aber wie kommt man auf das [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und woher weiß ich, wie ich mein [mm] \varepsilon [/mm] wähle, hier ja [mm] \bruch{1}{4n}??
[/mm]
Danke im Voraus.
Gruß
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> In unserem Skript
> ist folgende Folge:
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> [mm]\bruch{n}{3n+2}[/mm] von n=1 bis unendlich.
Hallo,
Ihr betrachtet also die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\bruch{n}{3n+2}.
[/mm]
> so dann sagen die, der grenzwert ist [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> So aber wie kommt man auf das [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Man dividiert Zähler und Nenner der Folge durch n und erhält
[mm] a_n:=\bruch{1}{3+\bruch{2}{n}}.
[/mm]
Nun überlegt man sich, was mit [mm] a_n [/mm] passiert, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht.
> so dann sagen die, der grenzwert ist [mm]\bruch{1}{3}[/mm] durch
> folgenden beweis.
>
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{n}{3n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(3n+2)-3n)}{3(3n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{2}{9n+6}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{4n}[/mm]
>
> Wusste nicht, wie man betragsstriche hier macht, deshalb
> müsste man sich da die auch noch hindenken.
>
> So aber wie kommt man auf das [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und woher weiß
> ich, wie ich mein [mm]\varepsilon[/mm] wähle, hier ja
> [mm]\bruch{1}{4n}??[/mm]
Du hast das mit der [mm] \varepsilon-Definition [/mm] für den Grenzwert wirklich noch nicht verstanden.
Hierfür wählt man nämlich kein [mm] \varepsilon, [/mm] sondern man gibt ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] vor, und sucht dazu dann ein passendes N bzw. [mm] n_0.
[/mm]
Ich glaube, es ist sinnvoll, wenn Du die Grenzwertdef. hier erstmal aufschreibst, damit klar ist, worüber man redet.
Gruß v. Angela
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hmm. also unsere def. ist wie folgt:
Die Folge [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] ... konvergiert gegen eine Zahl a [mm] \in \IR, [/mm] falls [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N=N(\varepsilon) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: |a - [mm] a_n| \le \varepsilon. [/mm] a heißt der Grenzwert dieser Folge.
so, habe ja schon gesagt, so richtig anwenden kann ich diese def. noch nicht.
gruß
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> hmm. also unsere def. ist wie folgt:
>
> Die Folge [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] ... konvergiert gegen eine Zahl a
> [mm]\in \IR,[/mm] falls [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists N=N(\varepsilon) \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: |a - [mm]a_n| \le \varepsilon.[/mm] a heißt der Grenzwert
> dieser Folge.
>
> so, habe ja schon gesagt, so richtig anwenden kann ich
> diese def. noch nicht.
Hallo,
aber wenn Du sie aufschreiben kannst, ist das schon die halbe Miete.
Ist Dir anschaulich klar, was es bedeutet, wenn eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen einen Grenzwert g konvergiert?
Die Folgenglieder rücken immer dichter an den Grenzwert g heran.
Die obige Def. sagt nun folgendes:
wenn die Folge gegen g konvergiert, so finde ich zu jeder Zahl [mm] \varepsilon, [/mm] die ich mir ausdenke, irgendeinen passenden Schwellenwert N so, daß ab dem N-ten Folgenglied alle drauffolgenden Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert g entfernt sind.
Da ich mein [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein wählen kann, ist hiermit das "beliebig dichte Heranrücken" beschrieben.
Wir wollen jetzt zeigen, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit $ [mm] a_n:=\bruch{n}{3n+2} [/mm] $ gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert.
Was müssen wir hierfür tun?
Nachweisen, daß wie zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N finden so, daß für alle n>N gilt
[mm] |a_n [/mm] - g| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Los geht's.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und es sei N:= [---- diesen Platz lassen wir vorerst frei. Wir schreiben das hin, wenn wir wissen, mit welchem N das klappt.]
Es ist
[mm] |\bruch{n}{3n+2}-\bruch{1}{3}| [/mm] = ... siehe Deine Rechnung
= $ [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] $ ----
[An dieser Stelle nehmen wir uns einen Schmierzettel und überlegen, wie wir unser N wählen müssen, damit wir durch [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen können:
Sei [mm] \bruch{1}{4n}< \varepsilon
[/mm]
==> 4n> [mm] \bruch{1}{ \varepsilon} [/mm] ==> [mm] n>\bruch{1}{4 \varepsilon}.
[/mm]
Aha! Wir müssen oben schreiben: sei [mm] N:=\bruch{1}{4 \varepsilon}.
[/mm]
Nun können wir dort, wo wir abgebrochen haben, weiter abschätzen: ]
---- < [mm] \bruch{1}{4N} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4\bruch{1}{4 \varepsilon}}=\varepsilon,
[/mm]
womit dann die Konvergenz gezeigt ist.
Das, was in eckigen Klammern steht, schreibt man nicht in Bücher, Dein Prof. schreibt es nicht an die Tafel, und Du schreibst es nicht in die Hausübung. Getan hat es jeder so.
Gruß v. Angela
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Hi, erstmal vielen, vielen dank für deine ausführliche Information. Aber zwei kleine Frage hätte ich dennoch. Einmal:
d.h. hier [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] hätte ich genauso [mm] \bruch{1}{5n}, \bruch{1}{6n} [/mm] usw. wählen können oder?
und die zweite frage, durch diese def. kann ich aber den grenzwert nicht bestimmen oder? denn hier brauche ich ja den genzwert und beweise dann, dass die folge gegen diesen grenzwert konvergiert. aber wie würde ich vorgehen, wenn der grenzwert nicht gegeben ist? einfach so, wie du es oben beschrieben hast mit dem durch n teilen. Weil es gibt ja auch schwierigere Folgen, bei denen es nicht so einfach geht.
danke
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> d.h. hier [mm]\bruch{1}{4n}[/mm] hätte ich genauso [mm]\bruch{1}{5n}, \bruch{1}{6n}[/mm]
> usw. wählen können oder?
Hallo,
wir hatten vor dem [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] stehen
...=$ [mm] \bruch{2}{9n+6} [/mm] $ , was wir mit einer <-Kette abschätzen wollen.
[mm] \bruch{2}{9n+6}<\bruch{1}{5n} [/mm] würde nicht stimmen, denn
[mm] \bruch{2}{9n+6}<\bruch{1}{5n}
[/mm]
<==> [mm] \bruch{9n+6}{2}>5n
[/mm]
<==> 9n+6 > 10n
<==> 6>n, und da wir ja gerade sehr große n betrachten wollen, ware das Quatsch.
Wir könnten aber so abschätzen:
...= [mm] \bruch{2}{9n+6} <\bruch{2}{2n}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
In diesem Fall hatten wir [mm] N(\varepsilon):= \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] gewählt.
> und die zweite frage, durch diese def. kann ich aber den
> grenzwert nicht bestimmen oder?
Richtig.
Die Definition kannst Du nur zum Nachweis, daß ein vermuteter Wert wirklich ein Grenzwert ist, verwenden.
> aber wie würde ich vorgehen, wenn
> der grenzwert nicht gegeben ist?
Wittern, horchen...
raten
ausprobieren mit dem Rechner
> einfach so, wie du es oben
> beschrieben hast mit dem durch n teilen.
> Weil es gibt ja
> auch schwierigere Folgen, bei denen es nicht so einfach
> geht.
Ja, die Bestimmung eines Grenzwertes kann ganz schön schwierig sein.
In Klausuren kommen aber normalerweise solche dran, die man mit den Standardtricks bewältigen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 So 02.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok, wieder vielen dank für deine Hilfe. werde mich mal an paar weitere aufgaben versuchen, wenns nicht klappt, melde ich mich wieder 
nochmal danke.
gruß
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