Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 13.04.2008 | | Autor: | Lufos |
| Aufgabe | Prüfen Sie die gegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert !
[mm] a)a_n=3^n*2^{-2n} b)a_n=5^n*2^{-2n} c)b_n=3^{-n}*(2^n+(-2)^{-n}) d)c_n=\bruch{\wurzel{n}}{n-\wurzel{10000}} [/mm] |
heyas,
erstmal vorweg: # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir über die oben stehenden Aufgaben jetzt über 5 Stunden lang den Kopf zerbrochen und 3 DIN-A4 Seiten vollgeschmiert. Ich denke, dass ich jetzt so halbwegs verstanden habe, wann eine Folge Konvergent bzw. Divergent ist. Troztdem ist es mir nicht möglich diese Aufgaben da zu lösen. Bevor ich jetzt wütend mein Hefter ausm Fenster schmeiße, dacht ich, ich könnt das ganze ja mal Leuten vortragen die davon Ahnung haben. Es wäre echt super, wenn sich jemand bereit erklärt die Aufgaben zu lösen und zu begründen.
Zu meinen Ansätzen:
a)da [mm] 3^n\rightarrow\infty [/mm] und [mm] 2^{-2n}\rightarrow0\rightarrow \infty [/mm] *0 =nicht [mm] definiert\rightarrow [/mm] keine Ahnugn wie weiter
b) das Selbe wie bei a
c)unbestimmt divergent, da [mm] (-2)^{-n}\rightarrow [/mm] kein lim (ist deswegen die ganze Folge divergent?)
[mm] d)\wurzel{n}=n^{\bruch{1}{²}} \rightarrow \infty [/mm] ; lim [mm] n\rightarrow \infty \rightarrow \bruch{\infty}{\infty} \rightarrow [/mm] nicht definiert [mm] \rightarrow [/mm] keine Ahnung
Bitte bitte helft mir. Ich bin am verzweifeln. Ist eine Folge zwingend divergent, wenn eines ihrer Glieder divergent ist?
mfg
Lufos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 13.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei so was musst du immer erst vereinfachen. die einzelnen Teile zu betrachten macht a) bei Summen Sinn, b) wenn beide gegen 0 oder unendlich gehen.
jetzt: [mm] 3^n/2^{-2n}=3/2^{2n}=3/(2^2)^n=(3/4)^n
[/mm]
dämmerts?
entsprechend b, c
[mm] (-2)^{-n}=(-1)^n*(1/2)^n [/mm] und jetzt noch mal denken. ausserdem erst die Klammer ausmult.!
Wenn ein echter Summand (nicht Faktor) divergiert, der andere konvergiert divergiert die Summe.
zwei divergierende Summanden gilt das nicht mehr unbedingt! einfaches Beispiel [mm] a_n=3*((-1)^n -(-1)^n)) [/mm] konvergiert!
bei d) Zähler und Nenner durch [mm] \wurzel{n} [/mm] teilen. oder beide durch n teilen.
Bei Brüchen mit n.s lohnt es fast immer Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von n zu teilen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 13.04.2008 | | Autor: | Lufos |
Super, danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich kann nur leider den Umformungen nicht ganz folgen. Könntest du die vllt nochmal schritt für schritt erklären?
Könnte es richtig sein, dass die Folge bei c) unbestimmt divergent ist und bei d) gegen 0 konvergiert?
Wie sieht es denn bei Produkten aus, wenn ein Produkt divergiert? Was ist eigentlich, wenn ein Glied der Folge unbestimmt divergent ist? Ich hoffe das sind nicht zu viele Fragen.
mfg
Lufos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mo 14.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab doch die erste Umformung Schritt für Schritt vorgemacht und benutzt:
[mm] a^-b=1/a^b [/mm] und [mm] a^{2n}=(a^2)^n [/mm] und [mm] 2^2=4
[/mm]
entsprechend in den anderen Aufgaben. c)konv. gegen 0. wirklich die Klammer ausm. und die Ausdrücke zu Brüchen hoch .. machen.
d) konv auch gegen 0. was hast du für b?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Lufos |
Danke. ich denke, dass ich es jetzt verstanden hab'. Man muss also immer auf Folgen zurückführen von denen manw eis wie sie sich verhalten. zb: [mm] q^n [/mm] oder [mm] n^\alpha. [/mm] a) geht bei mir genau wie c) und d) gegen 0 und b) divergiert gegen [mm] +\infty [/mm] ,also bestimmt divergent. Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lufos,
> Was ist eigentlich, wenn ein Glied der Folge
> unbestimmt divergent ist? Ich hoffe das sind nicht zu viele
> Fragen.
inwiefern meinst Du das? Meinst Du, wenn eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sich schreiben läßt mit [mm] $x_n=a_n \odot b_n$, [/mm] wobei [mm] $\odot$ [/mm] für entweder stets $+$ oder stets $*$ stehe? Wenn eine konvergiert und eine unbestimmt divergiert? Oder meinst Du "genau" eine?
Da solltest Du vll. mal genau formulieren, was Du meinst:
Ein paar Anregungen:
Was ist mit den Folgen [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $b_n=(-1)^{n+1}$? [/mm] Was ist mit deren Summe(nfolge)? Was mit deren Produkt(folge)?
Was ist mit [mm] $a_n=b_n=(-1)^n$? [/mm] Was ist hier mit der Summe? Was ist hier mit dem Produkt los?
Und nun definiere ich mal zwei Folgen so (ich denke, es ist klar, wie das Schema fortgesetzt wird, ich bin nur zu faul, es formal anders hinzuschreiben):
Die Folgeglieder [mm] $a_n$ [/mm] seien
[mm] $a_1=2$, $a_2=\frac{1}{2}$, $a_3=-2$, $a_4=-\frac{1}{2}$, $a_5=2$, [/mm] ....
Die Folgeglieder [mm] $b_n$ [/mm] seien
[mm] $b_1=\frac{1}{2}$, $b_2=2$, $b_3=-\frac{1}{2}$, $b_4=-2$, $b_5=\frac{1}{2}$,...
[/mm]
Was ist hier mit [mm] $a_n*b_n$? [/mm] Was mit [mm] $a_n+b_n$ [/mm] los?
Also:
Da kann viel passieren.
Was allerdings zum Beispiel gilt:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent in [mm] $\IR$ [/mm] und sei [mm] $(b_n)_n$ [/mm] unbestimmt divergent. Dann ist mit [mm] $c_n=a_n+b_n$ [/mm] auch [mm] $(c_n)_n$ [/mm] divergent in [mm] $\IR$.
[/mm]
(Eine Verschärfung zu unbestimmt divergent ist möglich, aber dann würde ich den Beweis anders führen, nämlich mit Häufungspunkten von [mm] $(c_n)_n$.)
[/mm]
Denn:
Nehmen wir an, es konvergiere [mm] $(c_n)_n$ [/mm] gegen ein $c [mm] \in \IR$. [/mm] Nach Voraussetzung gilt, dass [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit einem $a [mm] \in \IR$, [/mm] daher folgt [mm] $-a_n \to [/mm] -a$. Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist aber
[mm] $b_n=c_n+(-a_n)$
[/mm]
Da Summen konvergenter Folgen gegen die Summe der Grenzwerte konvergieren, folgte, dass
[mm] $b_n=c_n+(-a_n) \to [/mm] c+(-a)=c-a=:b [mm] \in \IR$
[/mm]
konvergieren müßte. Widerspruch.
Sowas kann man sich immer überlegen.
Aber vll. meintest Du ja was anderes. Hast Du Dir selbst auch mal Bsp. überlegt?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Lufos |
Danke dir. Ich meinte, das ein Glied der Folge konvergiert und ein Anderes unbestimmt divergiert. Bei Summen ist also die ganze Folge divergent. Gilt das auch bei Produkten und Quotienten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir. Ich meinte, das ein Glied der Folge konvergiert
> und ein Anderes unbestimmt divergiert. Bei Summen ist also
> die ganze Folge divergent. Gilt das auch bei Produkten und
> Quotienten?
Dir ist hoffentlich klar, dass Du Dich "sprachlich" falsch ausdrückst. Das Glied einer Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist einfach die Zahl [mm] $a_{n_0}$ [/mm] mit einem festen [mm] $n_0$. [/mm] So ist z.B. bei der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] das 5e Glied der Folge [mm] $a_5=\frac{1}{5}$.
[/mm]
Das, was Du meinst, ist dann einfach, dass sich, grob gesagt, eine Folge mittels zweier anderer Folgen zusammensetzen lassen soll, so, wie ich das schon geschrieben habe, wobei Du nun zudem haben willst, dass die eine der beiden unbestimmt divergiere, während die andere konvergiere.
Bei Produkten:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge konvergent gegen ein $a [mm] \in \IR$. [/mm] Sei [mm] $(b_n)_n$ [/mm] unbestimmt divergent.
Nun überlege Dir folgendes für die Folge [mm] $(c_n)_n$ [/mm] mit [mm] $c_n=a_n*b_n$:
[/mm]
Wenn $a [mm] \not=0$ [/mm] ist, so kann [mm] $(c_n)_n$ [/mm] nicht konvergieren. Was passiert allerdings, wenn $a=0$?
(Dazu solltest Du gucken: Was passiert dann, wenn [mm] $(b_n)_n$ [/mm] beschränkt ist? Sind Aussagen möglich, wenn [mm] $(b_n)_n$ [/mm] unbeschränkt ist?)
Sei nun [mm] $(d_n)_n$ [/mm] mit [mm] $d_n:=\frac{a_n}{b_n}$, [/mm] wobei stets [mm] $b_n \not=0$ [/mm] gelten sollte. Und jetzt kannst Du eigentlich im Wesentlichen die gleichen Fallunterscheidungen machen wie im vorhergehenden Fall, da
[mm] $d_n=a_n*\frac{1}{b_n}=:a_n*x_n$
[/mm]
Du musst Dir nur überlegen:
Wann ist die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] beschränkt und wann nicht?
(Warnung: Aus $0 [mm] \not=b_n \not\to [/mm] 0$ folgt noch lange nicht, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n=\frac{1}{b_n}$ [/mm] unbeschränkt ist. Beispiel:
Die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $x_n:=-\frac{1}{n}$ [/mm] für ungerade $n$ und [mm] $x_n:=n$ [/mm] für gerade $n$, d.h.:
[mm] $x_1=-1$, $x_2=2$, $x_3=-\frac{1}{3}$, $x_4=4$, $x_5=-\frac{1}{5}$, $x_6=6$,...
[/mm]
Hier war die zugehörige Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] gegeben mit [mm] $b_n=\frac{1}{x_n}$, [/mm] d.h.
[mm] $b_1=-1$, $b_2=\frac{1}{2}$, $b_3=-3$, $b_4=\frac{1}{4}$, $b_5=-5$, [/mm] ...
also $0 [mm] \not=b_n \not\to [/mm] 0$ gilt sicherlich sowie auch, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] unbestimmt divergent ist, aber [mm] $(x_n)_n$ [/mm] oben ist auch nicht beschränkt.)
Gruß,
Marcel
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