Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 So 06.12.2009 | | Autor: | Melda |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})n\in\IN\ [/mm] sei definiert durch
[mm] a_{0}=\bruch{5}{2} [/mm] , [mm] a_{n+1}=\bruch{(a_{n})^2+6}{5} [/mm] .
Man beweise, dass die Folge [mm] (a_{n})n\in\IN\ [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe und benötige dringend Hilfe.
ich dache ich fange mit der Induktion an und schaue ob die Folge beschränkt ist oder nicht , aber es klappt nicht so wie ich es mir vorgestellt habe.
bendanke mich im vorraus
lg Melda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melda!
Die Idee ist sehr gut: wenn du sowohl die Beschränktheit als auch die Monotonie nachweist, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Zeige doch mal, wioe weit Du damit gekommen bist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Melda |
Hallo
Also ich habe jetzt für die Beschränktheit:
n=0
[mm] a_{0}=\bruch{5}{2}>2
[/mm]
[mm] n\mapston [/mm] n+1
[mm] \bruch{a_{n}^{2}+6}{5} [/mm] > 2 |*5
[mm] a_{n}^{2} [/mm] +6 > 10 |-6
[mm] a_{n}^{2} [/mm] > 4 | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] \pm [/mm] 2
Monotonie:
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n}^{2}+6}{5} [/mm] > [mm] \bruch{a_{n+1}^{2}+6}{5} [/mm]
[mm] a_{n}^{2}+6 [/mm] > [mm] a_{n+1}^{2}+6
[/mm]
[mm] a_{n}^{2} [/mm] > [mm] a_{n+1}^{2}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] > [mm] a_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{2} [/mm] > [mm] \bruch\bruch{5}{2}^{2}+6{5} [/mm]
[mm] \bruch{5}{2} [/mm] > [mm] \bruch\bruch{{25}{4}+6}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{2} [/mm] > [mm] \bruch{49}{20} [/mm] monoton fallend
stimmt es bis jetzt??
danke für eure Hilfe
Lg Melda
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> Hallo
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> Also ich habe jetzt für die Beschränktheit:
Hallo,
es ist immer sinnvoll zu verraten, was man gerne zeigen möchte...
Du möchtest zeigen, daß die Folge nach unten beschränkt ist durch 2, richtig?
Und ich reime mir zusammen, daß Du eine Induktion machen möchstest.
Dann schreib' das auch gescheit auf - wenn nicht auf Deinem Zettelchen, dann doch für uns.
Behauptung: es ist [mm] a_n>2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Beweis durch Induktion
Induktionsanfang:
> n=0
> [mm]a_{0}=\bruch{5}{2}>2[/mm]
Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] a_n>2 [/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
>
Induktionsschluß
> [mm]n\mapston[/mm] n+1
Zu zeigen ist: dann ist auch [mm] a_{n+1}=
[/mm]
> [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] > 2
Beweis:
[mm] a_{n+1}=[/mm] [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] =... >... =... >...=2
Nun erstelle eine Ungleichungskette unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, an deren Ende 2 steht.
In diesem Falle ist sie recht kurz.
|*5
> [mm]a_{n}^{2}[/mm] +6 > 10 |-6
> [mm]a_{n}^{2}[/mm] > 4 | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]a_{n}[/mm] > [mm]\pm[/mm] 2
>
>
>
> Monotonie:
Behauptung: die Folge ist monoton fallend, also
> [mm]a_{n}[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm]
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Beweis durch Induktion:
Induktionsanfang: n=0
Bitte kein Äquivalenzgewurschtel, und schon gar nicht ohne Äquivalenzpfeile!
> [mm]a_{0}[/mm] > [mm]a_{1}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] > [mm]\bruch\bruch{5}{2}^{2}+6{5}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] > [mm]\bruch\bruch{{25}{4}+6}{5}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] > [mm]\bruch{49}{20}[/mm]
Mach's einfach so: [mm] a_0=[/mm] [mm]\bruch{5}{2}[/mm]> [mm]\bruch{49}{20}[/mm] [mm] =a_1.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: wie lautet sie?
Induktionsschluß: [mm] n\to [/mm] n+1
Zu zeigen: unter dieser Voraussetzung gilt was?
Beweis: (rechne hier nun vor, daß [mm] a_{n+1}-a_{n+2}>0 [/mm] ist.
[mm] a_{n+1}-a_{n+2}= [/mm] ...= ...> ....> ....> =....=...=0
Mach eine Ungleichungskette.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Melda |
Hallo,
> Zu zeigen ist: dann ist auch [mm]a_{n+1}=[/mm]
> > [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] > 2
>
> Beweis:
>
> [mm]a_{n+1}=[/mm] [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] =... >... =... >...=2
>
> Nun erstelle eine Ungleichungskette unter Verwendung der
> Induktionsvoraussetzung, an deren Ende 2 steht.
> In diesem Falle ist sie recht kurz.
ich habe mir jetzt eine Ungleichungskette gebastellt, bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt
[mm] \bruch {a_{n}^2+6}{5}=a_{n}^2+6>10=a_{n}^2>4=2
[/mm]
Lg Melda
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> Hallo,
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> > Zu zeigen ist: dann ist auch [mm]a_{n+1}=[/mm]
> > > [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] > 2
> >
> > Beweis:
> >
> > [mm]a_{n+1}=[/mm] [mm]\bruch{a_{n}^{2}+6}{5}[/mm] =... >... =... >...=2
> >
> > Nun erstelle eine Ungleichungskette unter Verwendung der
> > Induktionsvoraussetzung, an deren Ende 2 steht.
> > In diesem Falle ist sie recht kurz.
>
>
> ich habe mir jetzt eine Ungleichungskette gebastellt, bin
> mir aber nicht sicher ob das so stimmt
>
> [mm]\bruch {a_{n}^2+6}{5}=a_{n}^2+6>10=a_{n}^2>4=2[/mm]
Hallo,
hier herrscht leider Chaos.
Du kannst doch nicht schreiben, daß [mm] \bruch {a_{n}^2+6}{5} [/mm] dasselbe ist wie [mm] a_{n}^2+6, [/mm] und ähnlich mißlich geht die Kette weiter mit [mm] 10=a_{n}^2.
[/mm]
Richtig sähe es so aus:
[mm] \bruch {a_{n}^2+6}{5} [/mm] > [mm] \bruch {2^2+6}{5}=2 [/mm] (denn [mm] a_n>2 [/mm] nach Induktionsvoraussetzung)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Melda |
>Induktionsvoraussetzung: wie lautet sie?
[mm] a_{n}> a_{n+1} [/mm] oder nicht?????
> Induktionsschluß: [mm]n\to[/mm] n+1
>
> Zu zeigen: unter dieser Voraussetzung gilt was?
[mm] a_{0}>a_{1}???
[/mm]
> Beweis: (rechne hier nun vor, daß [mm]a_{n+1}-a_{n+2}>0[/mm] ist.
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n+2}=[/mm] ...= ...> ....> ....> =....=...=0
>
ich verstehe nicht, wie du auf [mm] a_{n+1}-a_{n+2}>0 [/mm] kommst ???
um zu zeigen das sie fallend ist muss ich doch [mm] a_{n+1}>a_{n+2} [/mm] oder [mm] a_{0}>a_{1} [/mm] zeigen oder nicht???
Lg Melda
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> >Induktionsvoraussetzung: wie lautet sie?
>
> [mm]a_{n}> a_{n+1}[/mm] oder nicht?????
Hallo,
nein.
Sie lautet: es gilt [mm] a_{n}> a_{n+1} [/mm] für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> > Induktionsschluß: [mm]n\to[/mm] n+1
> >
> > Zu zeigen: unter dieser Voraussetzung gilt was?
>
>
> [mm]a_{0}>a_{1}???[/mm]
Nein, jetzt mußt Du doch zeigen, daß die Behauptung unte rder Induktionsvoraussetzung auch für n+1 gilt, daß also [mm] a_{n+1}>a_{n+2}.
[/mm]
>
>
> > Beweis: (rechne hier nun vor, daß [mm]a_{n+1}-a_{n+2}>0[/mm] ist.
> >
> > [mm]a_{n+1}-a_{n+2}=[/mm] ...= ...> ....> ....> =....=...=0
> >
>
> ich verstehe nicht, wie du auf [mm]a_{n+1}-a_{n+2}>0[/mm] kommst
> ???
>
> um zu zeigen das sie fallend ist muss ich doch
> [mm]a_{n+1}>a_{n+2}[/mm]
Na! meine und Deine Aussage sind doch äquivalent. Mit "meiner" läßt sich bequemer arbeiten.
> oder [mm]a_{0}>a_{1}[/mm] zeigen oder nicht???
Das wäre der induktionsanfang.
Gruß v. Angela
>
>
> Lg Melda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 10.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe dieselbe Aufgabe und habe bei der monotonie
IA: [mm] a_{0}=5/2>49/20=a_{1}
[/mm]
IV: [mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
IS: [mm] a_{n+1}>a_{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n}>a_{n+1} |()^2\
[/mm]
[mm] \gdw (a_{n})^2>(a_{n+1})^2 [/mm] |+6
[mm] \gdw (a_{n})^2+6>(a_{n+1})^2+6 [/mm] |:5
[mm] \gdw \bruch {(a_{n})^2+6}{5} [/mm] > [mm] \bruch {(a_{n+1})^2+6}{5} [/mm]
stimmt das so?
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> Hallo,
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>
> ich habe dieselbe Aufgabe und habe bei der monotonie
Hallo,
hast Du schon gezeigt, daß die Folge nach unten durch 2 beschränkt ist? Wenn Du glaubhaft versichern kannst, daß sie stets größer als 0 ist, reichts auch vollkommen.
Bei einem Schritt, den Du machst, ist das wichtig.
>
> IA: [mm]a_{0}=5/2>49/20=a_{1}[/mm]
>
> IV: [mm]a_{n}>a_{n+1}[/mm]
für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> IS:
Zu zeigen: dann ist
> [mm]a_{n+1}>a_{n+2}[/mm]
Beweis:
nach I.V. ist
> [mm]a_{n}>a_{n+1} \green{(>0)} |()^2\[/mm]
>
> [mm] \gdw [/mm]
Nein! das ist nicht äquivalent. Da muß stehen [mm] \Rightarrow, [/mm] denn die umgekehrte Richtung stimmt nicht.
> [mm] (a_{n})^2>(a_{n+1})^2 [/mm] |+6
>
> [mm]\gdw (a_{n})^2+6>(a_{n+1})^2+6[/mm] |:5
>
> [mm]\gdw \bruch {(a_{n})^2+6}{5}[/mm] > [mm]\bruch {(a_{n+1})^2+6}{5}[/mm]
>
>
> stimmt das so?
Jetzt ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 10.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Beweis:
> nach I.V. ist
>
> > [mm]a_{n}>a_{n+1} \green{(>0)} |()^2\[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
>
> Nein! das ist nicht äquivalent. Da muß stehen
> [mm]\Rightarrow,[/mm] denn die umgekehrte Richtung stimmt nicht.
aber wieso das versteh ich jetzt nicht warum ist die eine reihe nicht äquivalent aber der rest?
hier habe ich doch nur quadriert? Wenn ich umgekehrt die wurzel ziehe kommt doch wieder das was oben steht raus :S
> > [mm](a_{n})^2>(a_{n+1})^2[/mm] |+6
> >
> > [mm]\gdw (a_{n})^2+6>(a_{n+1})^2+6[/mm] |:5
> >
> > [mm]\gdw \bruch {(a_{n})^2+6}{5}[/mm] > [mm]\bruch {(a_{n+1})^2+6}{5}[/mm]
> >
> >
Lg Melisa
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> Hallo,
>
>
> > Beweis:
> > nach I.V. ist
> >
> > > [mm]a_{n}>a_{n+1} \green{(>0)} |()^2\[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > Nein! das ist nicht äquivalent. Da muß stehen
> > [mm]\Rightarrow,[/mm] denn die umgekehrte Richtung stimmt nicht.
>
>
> aber wieso das versteh ich jetzt nicht warum ist die eine
> reihe nicht äquivalent aber der rest?
> hier habe ich doch nur quadriert? Wenn ich umgekehrt die
> wurzel ziehe kommt doch wieder das was oben steht raus :S
Hallo,
mit "nur quadrieren" muß man ja generell aufpassen.
Ich hoffe, Du hast Dir gut überlegt, warum ich >0 angehängt habe...
Und aus [mm] a^2 >b^2 [/mm] folgt nicht a>b, wie Du an a=-100 und b=-1 sehen kannst.
Gruß v. Angela
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> > > [mm](a_{n})^2>(a_{n+1})^2[/mm] |+6
> > >
> > > [mm]\gdw (a_{n})^2+6>(a_{n+1})^2+6[/mm] |:5
> > >
> > > [mm]\gdw \bruch {(a_{n})^2+6}{5}[/mm] > [mm]\bruch {(a_{n+1})^2+6}{5}[/mm]
> > >
> > >
>
>
> Lg Melisa
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