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Konvergenz von Folgen: Lösungsweg und Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Mi 27.01.2010
Autor: borsteline

Aufgabe


Also die Frage lautet: Prüfen sie die gegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen ise ggf. den Grenzwert.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

1) [mm] a_{n} =3^{n}*2^{-2n} [/mm]

2) [mm] a_{n}=5^{n}*2^{-2n} [/mm]

3) [mm] b_{n}=3^{-n}(2^{n}+(-2)^{-n}) [/mm]

4) [mm] c_{n}=\bruch{\wurzel{n}}{n-\wurzel{1000}} [/mm]

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Mi 27.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo borsteline und [willkommenmr],

du scheinst in den Forenregeln so den ein oder anderen Passus überlesen zu haben.

Zum einen den betr. den Umgangston hier. Ein "Hallo" und idealerweise ein "Tschüß" sind hier recht gern gesehen ...

Zum anderen - und das ist weit schlimmer - fehlen komplett eigene Ansätze, Ideen oder eine konkrete Frage, wo genau es hakt.

>
>
> Also die Frage lautet: Prüfen sie die gegebenen Folgen auf
> Konvergenz und bestimmen ise ggf. den Grenzwert.

Ist dir die Aufgabenstellung unklar?

Schlage nach, was eine Folge ist und was der Grenzwert einer Folge ...

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
> 1) [mm]a_{n} =3^{n}*2^{-2n}[/mm]
>  
> 2) [mm]a_{n}=5^{n}*2^{-2n}[/mm]
>  
> 3) [mm]b_{n}=3^{-n}(2^{n}+(-2)^{-n})[/mm]
>  
> 4) [mm]c_{n}=\bruch{\wurzel{n}}{n-\wurzel{1000}}[/mm]  


Bei 1), 2) Potenzgesetze anwenden und vereinfachen

Bei 3) die beiden Teilfolgen für gerades und ungerades n betrachten

Bei 4) die höchste gemeinsame Potenz von n in Zähler und Nenner ausklammern, kürzen und Grenzwertsätze benutzen


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: lösungsansatz richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mi 27.01.2010
Autor: borsteline

hi, also hier mal lösungsansätze von mir..

für a hab ich konvergent [mm] (\bruch{3}{4})^n [/mm]
für b divergent [mm] (\bruch{5}{4})^n [/mm]
bei c und d weiß ich keinen ansatz..

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mi 27.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hi, also hier mal lösungsansätze von mir..

Aha, so wird das auch was ;-)

>  
> für a hab ich konvergent [mm](\bruch{3}{4})^n[/mm] [ok]

Ja, mit welchem Grenzwert?

>  für b divergent [mm](\bruch{5}{4})^n[/mm] [ok]

Jo!

>  bei c und d weiß ich keinen ansatz..  

Die hatte ich genannt.

Schreibe dir in 3) mal die beiden Teilfolgen für n gerade und n ungerade hin.

Wie sehen die Häufungswerte aus?

Bei der letzten solltest du die höchste gemeinsame Potenz von n in Zäher und Nenner ausklammern, das ist offenbar [mm] $\sqrt{n}=n^{\frac{1}{2}}$ [/mm]

Das gibt [mm] $d_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot{}\left(\sqrt{n}-\sqrt{\frac{1000}{n}}\right)}$ [/mm]

Hier kannst du nun [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] wegkürzen, dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen.

Nutze die Grenzwertsätze ...

Gruß

schachuzipus



Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Mi 27.01.2010
Autor: tine84

Aufgabe
[mm] (\bruch{3}{4})n [/mm]

huhu,
also ich habe die gleichen aufgaben, hab da als grenzwert /bruch{3}{4} raus..

Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> [mm](\bruch{3}{4})n[/mm]
>  huhu,
> also ich habe die gleichen aufgaben, hab da als grenzwert
> /bruch{3}{4} raus..
>  
> Stimmt das?  


Wenn Du diese Folge

$ [mm] a_{n} =3^{n}\cdot{}2^{-2n} [/mm] $

meinst, so irrst Du, denn [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge. Wie kommst Du auf  [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ?

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Mi 27.01.2010
Autor: tine84

hmm,, also wenn man das umformt komm ich auf [mm] \bruch{{3}^{n}}{{4}^n}, [/mm] das n dann kürzen.. aber glaub da bin ich grad aufn falschen weg

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> hmm,, also wenn man das umformt komm ich auf
> [mm]\bruch{{3}^{n}}{{4}^n},[/mm] das n dann kürzen.. aber glaub da
> bin ich grad aufn falschen weg

So ist es ! Wie "kürzt" Du im Fall n=2: [mm] \bruch{9}{16} [/mm]  ????

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mi 27.01.2010
Autor: tine84

hi, stimmt schon, lag da voll falsch..

ok dann danke schön für die hilfe..

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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 27.01.2010
Autor: borsteline

hi, ist dann für aufgabe 4 der grenzwert 1??+

oder hab ich mich da verrechnet?

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mi 27.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hi, ist dann für aufgabe 4 der grenzwert 1??+

Nein, das stimmt nicht.

>  
> oder hab ich mich da verrechnet?  

Ja, aber um herauszufinde, an welcher Stelle, solltest du etwas Rechnung posten ...

Gruß

schachuzipus


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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mi 27.01.2010
Autor: borsteline

naja ich komm dann auf [mm] \bruch{1}{\wurzel_1-\bruch{100}{n}} [/mm]

is das dann nich 1? wenn man das alles kürzt?


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: falsch gekürzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 27.01.2010
Autor: Loddar

Hallo borsteline!


Da hast Du zuviel bzw. falsch gekürzt. Es muss heißen:

[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{n}-\wurzel{\bruch{100}{n}}}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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