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| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz:
[mm] d_{n}:=qd_{n-1}, n\in\IN, d_{0}:=1+\wurzel{2}, [/mm] wobei [mm] q\in(-1,1) [/mm] beliebig, aber fest |
Hallo zusammen,
Finde das ein wenig verwirrend, ich weiß dass: [mm] d_{0}:=1+\wurzel{2}, [/mm] was kann ich dann über [mm] d_{n}:=qd_{n-1} [/mm] aussagen? Ich verstehe diese Folge an sich nicht so richtig...Bezieht sich die angabe für das [mm] d_{0} [/mm] denn auf den Index der Folge oder auf das Folgenglied [mm] d_{0}?
[/mm]
Gruß
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Hallo Theoretix,
dann hat's ja geklappt. Der Aufgabensteller will Dich vor allem mit dem [mm] d_0 [/mm] verwirren.
> Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz:
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> [mm]d_{n}:=qd_{n-1}, n\in\IN, d_{0}:=1+\wurzel{2},[/mm] wobei
> [mm]q\in(-1,1)[/mm] beliebig, aber fest.
>
> Hallo zusammen,
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> Finde das ein wenig verwirrend, ich weiß dass:
> [mm]d_{0}:=1+\wurzel{2},[/mm] was kann ich dann über
> [mm]d_{n}:=qd_{n-1}[/mm] aussagen? Ich verstehe diese Folge an sich
> nicht so richtig...Bezieht sich die angabe für das [mm]d_{0}[/mm]
> denn auf den Index der Folge oder auf das Folgenglied
> [mm]d_{0}?[/mm]
Nein, nicht auf den Index. Hier ist einfach das Startglied explizit angegeben. Das wäre allerdings gar nicht nötig gewesen...
Am einfachsten bildest du erst einmal eine Folge [mm] c_n=|d_n|. [/mm] Für positives [mm] d_0 [/mm] ist das gleichbedeutend damit, den Faktor q durch r=|q| zu ersetzen.
Weiterhin ist eine nicht-rekursive Darstellung hilfreich.
Kannst Du [mm] d_n [/mm] (oder [mm] c_n) [/mm] denn so darstellen: [mm] d_n=f(q,n,d_0) [/mm] - also ohne irgendein anderes Folgenglied auf der rechten Seite außer dem Startglied?
Und dann solltest Du den Grenzwert Null eigentlich schnell finden.
Grüße
reverend
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Danke für die Antwort-schonmal gut zu wissen, dass es sich dabei um das Startglied handelt und damit dann eine rekursive Darstellung der Folge gegeben ist. Da steht doch dann: Ein Folgenglied [mm] d_{n} [/mm] wird gegeben dadurch, dass man die Zahl [mm] q\in(-1,1) [/mm] fest mit dem vorangehenden Folgenglied multipliziert, oder?
für [mm] d_{1}=q*1+\wurzel{2}, [/mm] oder? Weil [mm] d_{1-1}=d_{0}=1+\wurzel{2}
[/mm]
Wie mache ich daraus so eine nicht rekursive darstellung?
Gruß
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort-schonmal gut zu wissen, dass es sich
> dabei um das Startglied handelt und damit dann eine
> rekursive Darstellung der Folge gegeben ist. Da steht doch
> dann: Ein Folgenglied [mm]d_{n}[/mm] wird gegeben dadurch, dass man
> die Zahl [mm]q\in(-1,1)[/mm] fest mit dem vorangehenden Folgenglied
> multipliziert, oder?
> für [mm]d_{1}=q*1+\wurzel{2},[/mm] oder?
> Weil [mm]d_{1-1}=d_{0}=1+\wurzel{2}[/mm]
Fast. Es ist doch viel netter so: [mm] d_1=1*\blue{(}1+\wurzel{2}\blue{)}
[/mm]
edit: Das hätte natürlich [mm] \blue{d_1=}\red{q}\blue{*(1+\wurzel{2})} [/mm] heißen müssen!
Was ist dann also [mm] d_2? [/mm] Und was [mm] d_3?
[/mm]
> Wie mache ich daraus so eine nicht rekursive darstellung?
Das siehst Du bestimmt, wenn Du ganz wenige weitere Glieder ausrechnest. Du kannst dabei auch einfach [mm] d_0 [/mm] stehenlassen, ohne den Wert einzusetzen. Das spart Schreibarbeit und ändert inhaltlich nichts.
Grüße
reverend
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Hallo, also haben wir q=1 gesetzt, der einfachheit halber?
Wenn also [mm] d_{1}=1*(1+\wurzel{2}), [/mm] dann ist doch das nächste folgenglied einfach wieder q (=1) multipliziert mit dem letzten [mm] (=1*(1+\wurzel{2})=1+\wurzel{2}) [/mm] oder? da die 1 nichts ändert, ist dann nicht auch die nicht rekursive darstelltung die konstante folge:
[mm] d_{n}:=1+\wurzel{2}?
[/mm]
Oder bringe ich grade sachen durcheinander?
Gruß
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Oh, pardon: da habe ich einen sinnentstellenden Tippfehler.
Natürlich wollte ich nicht q=1 setzen, sondern:
[mm] d_1=q*(1+\wurzel{2})=q*d_0
[/mm]
schreiben. Dann ist [mm] d_2=q*d_1=\cdots
[/mm]
Tut mir leid, das ist unnötige Verwirrung, für die ich gerade gesorgt habe.
lg
rev
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Kein Problem, bin dankbar für die Hilfe!
Wie sieht denn dann die nichtrekursive vorschrift aus?
die glieder bleiben doch immer konstant oder?
gruß
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Hallo Theoretix,
> Kein Problem, bin dankbar für die Hilfe!
>
> Wie sieht denn dann die nichtrekursive vorschrift aus?
Wie wäre es mit ein wenig Eigenleistung?
Stecke wenigstens etwas eigenes Gehirnschmalz rein ...
>
> die glieder bleiben doch immer konstant oder?
Begründung??
Vorgerechnet wurde dir:
[mm]d_{\red{0}}=1+\sqrt{2}=q^{\red{0}}\cdot{}(1+\sqrt{2})[/mm]
[mm]d_{\red{1}}=q\cdot{}d_0=q\cdot{}(1+\sqrt{2})=q^{\red{1}}\cdot{}(1+\sqrt{2})[/mm]
[mm]d_{\red{2}}=q\cdot{}d_1=q\cdot{}q^1\cdot{}(1+\sqrt{2})=q^{\red{2}}\cdot{}(1+\sqrt{2})[/mm]
Wenn du immer noch kein Schema erkennst, wie [mm]d_{\red{n}}[/mm] aussehen könnte, berechne noch 2-3 Folgenglieder ...
> gruß
LG
schachuzipus
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