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| Aufgabe | Prüfen Sie nach, ob die folgenden uneigentlichen Integrale Konvergent sind.
[mm]\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx)}[/mm] |
Moin moin,
ich sitz grade an dieser Aufgabe und bekomme nicht so richtig nen Ansatz... Das ganze integrieren scheint mir zu weit hergeholt zu sein... Für einen Tipp wäre ich dankbar.
Viele Grüße
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Hallo Speedmaster,
> Prüfen Sie nach, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> Konvergent sind.
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx)}[/mm]
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>
> Moin moin,
>
> ich sitz grade an dieser Aufgabe und bekomme nicht so
> richtig nen Ansatz... Das ganze integrieren scheint mir zu
> weit hergeholt zu sein... Für einen Tipp wäre ich
> dankbar.
Na, da du "nur" auf Konvergenz prüfen sollst, reicht es wohl, gegen ein majorisierendes konvergentes Integral abzuschätzen.
Tipp: mit [mm]f(x)=\frac{x+2}{2x^4+3x^2+2}[/mm] ist
[mm]\int\limits_{0}^{\infty}{f(x) \ dx} \ = \ \int\limits_{0}^2{f(x) \ dx} \ + \ \int\limits_{2}^{\infty}{f(x) \ dx}[/mm]
Im kompakten Intervall [mm][0,2][/mm] ist f schön stetig, nimmt also sein Maximum [mm]M[/mm] an.
Das erste Integral kannst du also geeignet abschätzen durch ....?
Für [mm]x\ge 2[/mm] kannst du [mm]f(x)[/mm] grob nach oben abschätzen.
Vergrößere den Zähler zu [mm]2x[/mm] und verkleiner den Nenner ganz grob zu [mm]2x^4[/mm]
Dann ergibt sich was?
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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Okay, ich habe jetzt
[mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx}+\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x^3} dx}
\textrm{
da}
\integral_{2}^{\infty}{\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx}<\integral_{2}^{\infty}{\bruch{2x}{2x^4} dx}
[/mm]
Nun kann ich zeigen, dass das Integral auf [2,[mm]\infty[/mm]] Konvergiert.
Für das Interval von 0 bis 2 steh ich nun wieder vor dem selben Problem...
[mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{2x^4+3x^2+2} dx}+2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx}
<\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{2x^4} dx}+2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2x^4} dx}<\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx}+\integral_{0}^{}{\bruch{1}{x^3} dx}=2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx}
[/mm]
Alles Klar, Problem gelöst =)
Vielen Dank
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Hallo nochmal,
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> Okay, ich habe jetzt
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx}+\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x^3} dx} \textrm{ da} \integral_{2}^{\infty}{\bruch{x+2}{2x^4+3x^2+2} dx}<\integral_{2}^{\infty}{\bruch{2x}{2x^4} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, genau dieses Integral hatte ich im Sinn als majorisierendes konnvergentes Integral
>
> Nun kann ich zeigen, dass das Integral auf [2,[mm]\infty[/mm]]
> Konvergiert.
Genau! Einfach ausintegrieren 
>
> Für das Interval von 0 bis 2 steh ich nun wieder vor dem
> selben Problem...
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{2x^4+3x^2+2} dx}+2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx} <\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{2x^4} dx}+2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2x^4} dx}<\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx}+\integral_{0}^{}{\bruch{1}{x^3} dx}=2\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^3} dx}[/mm]
Dieses Integral divergiert, der Integrand hat in x=0 einen Pol ...
>
> Alles Klar, Problem gelöst =)
Nicht ganz.
Ich sagte ja, dass der Integrand auf dem kompakten Intervall [mm][0,2][/mm] stetig ist und damit dort sein Maximum annimmt.
Das brauchst du nichtmal auszurechnen.
Schätze einfach durch die Rechteckfläche [mm]2\cdot{}\max\limits_{x\in[0,2]}f(x)[/mm] ab (2 ist die Länge von 0 bis 2)
Das hat einen endlichen Wert, damit dann auch das Gesamtintegral.
Wenn du Spaß dran hast, kannst du auch das Maximum auf [mm][0,2][/mm] berechnen ...
>
> Vielen Dank
>
>
Gruß
schachuzipus
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