Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für genau welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{/infty} \bruch{(x-2)^{n}}{(n+1)*3^{n}} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1532964#post1532964
Ich würde gerne wissen wie ich bei solch einer Aufgabe rangehe!
Ich persönlich würde als erstes das Quotientenkriterium benutzen, allerdings weiß ich nicht ob ich die Reihe erst noch umformen muss oder gleich damit loslegen kann ;)
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Hallo skatoffel und erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Für genau welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{/infty} \bruch{(x-2)^{n}}{(n+1)*3^{n}}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1532964#post1532964
>
> Ich würde gerne wissen wie ich bei solch einer Aufgabe
> rangehe!
> Ich persönlich würde als erstes das Quotientenkriterium
> benutzen, allerdings weiß ich nicht ob ich die Reihe erst
> noch umformen muss oder gleich damit loslegen kann ;)
Kannst du machen und auch gleich damit loslegen.
Diese (Potenz-)Reihe hat aber so eine "schöne" Gestalt mit dem [mm]3^n[/mm] im Nenner, dass sich doch das Wurzelkriterium bzw. extra für Potenzreihen das Kriterium von Cauchy-Hadamard anbietet.
Berechne [mm]R=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(n+1)\cdot{}3^n}\right|}[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{R}[/mm] und die Reihe konvergiert für [mm]|x-2|<\rho[/mm] und divergiert für [mm]|x-2|>\rho[/mm]
Für die Randpunkte [mm]|x-2|=\rho[/mm] musst du durch Einsetzen der entsprechenden [mm]x[/mm]-Werte in die Reihe separat auf Konverngenz prüfen-
Gruß
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort :) ( klasse!! )
allerdings bin ich nicht der hellste in Mathe und von der Cauchy Hadamard Methode hab ich leider noch nie etwas davon gehört!
Deswegen wäre es klasse, wenn du mir vlt beim Quotientenkriterium helfen könntest!
Hier meine bisherigen Rechenschritte:
[mm] \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n}} [/mm] | [mm] \Rightarrow \frac {(x-2)^{n+1}*(n+1)*3^{n}} {(n+2)*3^{n+1}*(x-2)^{n}}
[/mm]
Ich weiß zwar, dass ich jetzt irgendwie kürzen muss, aber da feiert mein Hirn lieber La Paloma ^^
hoffe aber dass das bisher so richtig ist :)
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Hallo skatoffel,
> hallo schachuzipus,
> erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort :) (
> klasse!! )
> allerdings bin ich nicht der hellste in Mathe und von der
> Cauchy Hadamard Methode hab ich leider noch nie etwas davon
> gehört!
> Deswegen wäre es klasse, wenn du mir vlt beim
> Quotientenkriterium helfen könntest!
>
> Hier meine bisherigen Rechenschritte:
>
>
> [mm]\lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n}}[/mm] | [mm]\Rightarrow \frac {(x-2)^{n+1}*(n+1)*3^{n}} {(n+2)*3^{n+1}*(x-2)^{n}}[/mm]
>
Genauer muss es heißen:
[mm]\lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n}} | =\vmat{ \frac {(x-2)^{n+1}*(n+1)*3^{n}} {(n+2)*3^{n+1}*(x-2)^{n}}}[/mm]
> Ich weiß zwar, dass ich jetzt irgendwie kürzen muss, aber
> da feiert mein Hirn lieber La Paloma ^^
>
Jetzt musst Du das Potenzgesetz
[mm]\bruch{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}[/mm]
anwenden.
> hoffe aber dass das bisher so richtig ist :)
Ja, das ist soweit richtig.
Gruss
MathePower
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so ich hock momentab wieder dran
komm aber schon wieder nicht weiter ^^
[mm] \bruch{(x-2)*(n+1)*3^{-1}}{(n+2)}
[/mm]
konnte nun also das [mm] \((x-2)^{n} [/mm] im nenner wegkürzen
wie geh ich nun weiter vor?
ausmultiplizeren? viel kann man ja meines erachtens nicht mehr kürzen!
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Hallo nochmal,
> so ich hock momentab wieder dran
> komm aber schon wieder nicht weiter ^^
>
> [mm]\bruch{(x-2)*(n+1)*3^{-1}}{(n+2)}[/mm]
Wieso ignorierst du so hartnäckig die Beträge??
Du musst laut QK berechnen [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm], wobei hier [mm]a_n=\frac{(x-2)^n}{(n+1)\cdot{}3^n}[/mm] ist.
Betrachtest du nun diesen Quotienten, so ergibt sich [mm]\frac{|x-2|\cdot{}(n+1)}{3\cdot{}(n+2)}[/mm]
Du liegst also gar nicht so weit daneben ...
Nun lasse [mm]n\to\infty[/mm] laufen und bedenke, wann das QK (absolute) Konvergenz liefert.
>
> konnte nun also das [mm]\((x-2)^{n}[/mm] im nenner wegkürzen
> wie geh ich nun weiter vor?
> ausmultiplizeren? viel kann man ja meines erachtens nicht
> mehr kürzen!
Nö, das hast du ja bereits getan, nun [mm]n\to\infty[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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Tut mir leid, aber ich hab eigentlich nichts (zumindest absichtlich) ignoriert.
in ein paar videos habe ich gesehen dass man bevor man n gegen unendlich laufen lässt, jedes n noch durch seine höchste potenz teilen muss! ist das hier auch der fall?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu brechnen ist der Grenzwert von
$ [mm] \frac{|x-2|\cdot{}(n+1)}{3\cdot{}(n+2)} [/mm] $
Berechne also den Grenzwert von
$ [mm] \frac{(n+1)}{3\cdot{}(n+2)} [/mm] $
Diesen GW nenne ich a. Dann ist
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{|x-2|\cdot{}(n+1)}{3\cdot{}(n+2)}=|x-2|*a [/mm] $
FRED
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ich hab den grenzwert so berechnet:
[mm] \bruch{|x-2|*(\bruch{n}{n}+1)}{3*(\bruch{n}{n}+2)}
[/mm]
die n's streben gegen 0 -->
[mm] \bruch{|x-2|*1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] < 1 --> die reihe konvergiert
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Hallo!
> ich hab den grenzwert so berechnet:
>
> [mm]\bruch{|x-2|*(\bruch{n}{n}+1)}{3*(\bruch{n}{n}+2)}[/mm]
Was hast du denn hier gemacht?
>
> die n's streben gegen 0 -->
>
> [mm]\bruch{|x-2|*1}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] < 1 --> die reihe konvergiert
Du möchtest also den Grenzwert von: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ (n+1)}{ 3 \cdot (n+2)}[/mm] berechnen.
Dazu klammerst du am besten n aus.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n \cdot (1+\bruch{1}{n})}{n \cdot (3+\bruch{6}{n})}[/mm]
Jetzt kannst du den Grenzwert ablesen.
Valerie
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> Hallo!
>
> > ich hab den grenzwert so berechnet:
> >
> > [mm]\bruch{|x-2|*(\bruch{n}{n}+1)}{3*(\bruch{n}{n}+2)}[/mm]
>
> Was hast du denn hier gemacht?
>
Ich hab n durch seine höchste Potenz geteilt! Ist das nicht richtig?
Wie kommst du denn bei deinen endergebnis
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n \cdot (1+\bruch{1}{n})}{n \cdot (3+\bruch{6}{n})} [/mm] $
auf das [mm] \bruch{6}{n} [/mm] ?
ich hab zwar eh nicht das auge dafür wann ich wo und was ausklammern muss, aber wenn ich diene lösung versteh dann müsste da anstatt [mm] \bruch{6}{n} [/mm] doch eigentlich [mm] \bruch{2}{n} [/mm] stehen!
aber jetzt zum grenzwert:
[mm] \bruch{6}{n} [/mm] läuft gegen null genauso wie [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
also habich als grenzwert [mm] \bruch{1}{3} [/mm] richtig?
--> die reihe ist konvergent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 04.01.2012 | | Autor: | wauwau |
[mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{|x-2|*(n+1)}{3*(n+2)} = \frac{|x-2|}{3}[/mm]
Daher Konvergenz für diesen Ausdruck <1!
nebenbei: die Reihe $= [mm] -9\frac{ln(5-x)}{x-2} [/mm] $
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> Ich hab n durch seine höchste Potenz geteilt! Ist das
> nicht richtig?
Man klammert die höchste Potenz aus.
> Wie kommst du denn bei deinen endergebnis
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n \cdot (1+\bruch{1}{n})}{n \cdot (3+\bruch{6}{n})}[/mm]
>
> auf das [mm]\bruch{6}{n}[/mm] ?
Betrachte den Nenner: [mm]3 \cdot (n+2) = 3 \cdot n+6=n \cdot (3+\bruch{6}{n})[/mm]
> [mm]\bruch{6}{n}[/mm] läuft gegen null genauso wie [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Weiter siehe wauwau...
Valerie
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