Konvergenz von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 19.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Gegeben sei die unendliche Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert.
b) Beweisen Sie, dass die durch Umordnung erhaltene Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{4k-3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{4k-1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k}} [/mm]
divergent ist. |
Hallo...
wir müssen weiter diese Aufgaben üben, nur dass ganz viele Wurzeln drin sind....
Kann ich mir jetzt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}}
[/mm]
nehmen und das [mm] \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}} [/mm] zum Quadrat nehmen
dann erhalte ich [mm] \bruch{(-1)^{2n-2}}{n}
[/mm]
Ist das erlaubt???
Oder sollte ich lieber etwas anderes machen, was einfacher und eventuell sinnvoller wäre, wenn ja, was wäre das dann...
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Doreen!
Bei einer Reihe mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] lohnt es auf jeden Fall, über das  Leibniz-Kriterium nachzudenken.
Das heißt also, Du musst zeigen: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \text{ist \red{monoton fallende} Nullfolge}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Gegeben sei die unendliche Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}}
[/mm]
zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert. |
Hallo,
die erste Teilaufgabe habe ich...
meine Frage, ist diese richtig gelöst, passt Rechnungsweg?Ich bitte auch um Verbesserung, Verbesserungsvorschläge.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}}
[/mm]
Indexverschiebung
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1+1}}{\wurzel{n+1}}= \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Leibnizkriterium:
Nullfolge?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] = 0
monoton fallend?
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 0 (Voraus.)
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n+2} - \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1} * \wurzel{n+2}} \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Nullfolge, monoton fallend [mm] \Rightarrow [/mm] konvergiert
somit konvergiert auch [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Vielen Dank für Antwort und Hilfe
Gruß
Doreen
|
|
|
| |
|
Hallo Doreen!
> Indexverschiebung
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1+1}}{\wurzel{n+1}}= \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}[/mm]
Diese Indexverscheibung halte ich für überflüssig! Kürzer wäre hier:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{\wurzel{n}} \ = \ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(-1)^1*\wurzel{n}} \ = \ (-1)*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}[/mm]
> Nullfolge? [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> monoton fallend?
> [mm]\bruch{\wurzel{n+2} - \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1} * \wurzel{n+2}} \ge[/mm] 0
Das siehst Du hier bereits mit [mm] $\ge [/mm] \ 0$ ?
Da würde ich noch etwas weiter umformen, z.B.den Bruch mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right)$ [/mm] erweitern.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nullfolge, monoton fallend [mm]\Rightarrow[/mm]
> konvergiert
Dass die Folge [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}}$ [/mm] konvergiert, steckt ja bereits im Ausdruck "Nullfolge".
> somit konvergiert auch [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hi,
das mit dem monoton fallend habe ich natürlich nicht an der Aufgabe gesehen, ich habe einfach ein paar Wert für n eingesetzt...
und dann einfach geschlussfolgert *grins*
Gruß
Doreen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Doreen!
> das mit dem monoton fallend habe ich natürlich nicht an der
> Aufgabe gesehen, ich habe einfach ein paar Wert für n
> eingesetzt...
Das ist aber offensichtlich kein korrekter Beweis bzw. Nachweis. Das ist Dir schon klar, oder? 
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
ja ich weiß scho... wir sind hier an der uni... und nicht mehr in der Schule... :o(
ich versuch mich zu bessern... :o)
aber als anstoß zum denken, kann ich es hernehmen... und dann erweitere ich einfach die ganze sache, damit es passt. ;o)
Gruß Doreen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{4k-3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{4k-1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k}} [/mm]
Beweisen Sie, dass die durch Umordnung erhaltene Reihe divergent ist. |
Hallo,
mit dem zweiten Teil weiß ich nichts so recht anzufangen,
hat da jemand eine Idee zu?
ich kann ja alles auf einen Bruchstrich bringen... aber das schaut so chaotisch aus...
Für Tipps und Tricks vielen Dank.
Gruß Doreen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Doreen!
Schätze die Reihenglieder geschickt nach unten ab durch
$C [mm] \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$,
[/mm]
wobei $C$ eine geeignete Konstante ist. Dann folgt die Divergenz aus dem Minorantenkriterium.
Die Konstante bekommst du, wenn du zwei der drei Teilsummanden jedes Reihengliedes geschickt abschätzt (mache den Nenner größer, dann wird der Ausdruck kleiner).
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
