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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}(n+a)} [/mm] konvergent ist für a > -1 |
Hallo alle, kann mir jemand bitte helfen?
Ich hab schon versucht, mit anderen Reihen zu vergleichen, nichts scheint aber zu funktionieren, Das Problem ist, dass diese Reihe grösser ist als die meisten konvergenten Reihen so wie z.B. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{3/2}} [/mm] u.s.w.
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> Zeigen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}(n+a)}[/mm] konvergent
> ist für a > -1
> Hallo alle, kann mir jemand bitte helfen?
> Ich hab schon versucht, mit anderen Reihen zu vergleichen,
Gute Idee!
> nichts scheint aber zu funktionieren,
Da bin ich aber platt.
> Das Problem ist, dass
> diese Reihe grösser ist als die meisten konvergenten Reihen
> so wie z.B. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{3/2}}[/mm] u.s.w.
Es ist doch [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n}(n+a)}{n^{3/2}}=1$, [/mm] nicht?
Und wenn das so ist, dann gibt es zu jedem noch so kleinen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt
[mm]1-\varepsilon < \frac{n^{3/2}}{\sqrt{n}(n+a)}<1+\varepsilon[/mm]
und daher
[mm](1-\varepsilon)\cdot\frac{1}{n^{3/2}} < \frac{1}{\sqrt{n}(n+a)}< (1+\varepsilon})\cdot\frac{1}{n^{3/2}}[/mm]
Woraus sich für das Reststück der fraglichen Reihe ab [mm] $n_0$ [/mm] die beidseitige Abschätzung
[mm](1-\varepsilon)\cdot\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}\leq \sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}(n+a)}\leq (1+\varepsilon)\cdot \sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}<\infty[/mm]
ergibt.
Dies gilt allgemein: wenn das Verhältnis der Glieder zweier unendlicher Reihen für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $1$ geht, dann lässt sich stets das Reststück der einen Reihe durch geeignete Vielfache der Reststücke der anderen Reihe von unten und oben abschätzen. D.h. entweder divergieren beide Reihen oder beide konvergieren, sie haben dasselbe Konvergenzverhalten.
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Ach so ja, du hast recht. Sorry ich hatte wohl die Limes falsch ausgerechnet. Aber glaubst du nicht es reicht zu schreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{3/2}}{\wurzel{n}(n+a)} [/mm] = 1 < [mm] \infty [/mm] und weil [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{3/2}} [/mm] konvergent ist, dann muss [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}(n+a)} [/mm] auch konvergent sein?
Die sind ja beide definiert für alle [mm] n\in \IN [/mm] oder?
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> Ach so ja, du hast recht. Sorry ich hatte wohl die Limes
> falsch ausgerechnet. Aber glaubst du nicht es reicht zu
> schreiben
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{3/2}}{\wurzel{n}(n+a)}[/mm]
> = 1 < [mm]\infty[/mm] und weil
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{3/2}}[/mm] konvergent ist,
> dann muss [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}(n+a)}[/mm]
> auch konvergent sein?
Für mich würde diese Erklärung schon reichen, aber ob es den Aufgabensteller in dieser Form zufriedenstellt ist wieder eine andere Frage. Weil dies nicht ohne weiteres sichergestellt ist, fände ich es jedenfalls nötig, die Abschätzung des Reststücks [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}(n+a)}$ [/mm] wenigstens nach oben durch [mm] $(1+\varepsilon)\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{3/n}}$ [/mm] hinzuschreiben.
> Die sind ja beide definiert für alle [mm]n\in \IN[/mm] oder?
Ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst: für das Konvergieren ist nur wesentlich, wie sich die Reststücke für genügend grosses [mm] $n_0$ [/mm] verhalten. $a>-1$ muss in der Aufgabenstellung nur angegeben werden, damit nicht etwa für ein $n$ eine Division durch $0$ auftreten kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Do 05.06.2008 | | Autor: | Jazz2 |
Für [mm] a\ge0:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n}*n+\wurzel{n}*a} \le \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n}*n}
[/mm]
und das ist konvergent.
Nun musst du noch schauen, was passiert, wenn -1<a<0
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