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Konvergenz von Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 24.04.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(x-1)^{5k} [/mm] konvergent?

Hallo,

hier mein Ansatz:

Entwicklungspunkt ist [mm] x_{0}=1 [/mm]

[mm] a_{k}=\bruch{2^{k}}{k^{2}} [/mm]

Konvergenzradius: [mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k}*(k+1)^{2}}{k^{2}*2^{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{2}+2k+1}{k^{2}*2}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^{2}}}{2}|=0.5 [/mm]

r=0.5

[mm] x_{0}-r=1-0.5=0.5 [/mm]
[mm] x_{0}+r=1+0.5=1.5 [/mm]     --> I=(0.5 , 1.5)

Randpunkte überprüfen:

Mit x=0.5:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5-1)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(-0.5)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k} [/mm]

Ich komme hier nicht weiter :(

Danke vorab.

        
Bezug
Konvergenz von Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 24.04.2011
Autor: kamaleonti

Moin monstre,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(x-1)^{5k}[/mm]
> konvergent?
>  Hallo,
>  
> hier mein Ansatz:
>
> Entwicklungspunkt ist [mm]x_{0}=1[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{2^{k}}{k^{2}}[/mm]
>  
> Konvergenzradius:
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k}*(k+1)^{2}}{k^{2}*2^{k+1}}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{2}+2k+1}{k^{2}*2}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^{2}}}{2}|=0.5[/mm]
>  
> r=0.5
>  
> [mm]x_{0}-r=1-0.5=0.5[/mm]
>  [mm]x_{0}+r=1+0.5=1.5[/mm]     --> I=(0.5 , 1.5)

>  
> Randpunkte überprüfen:
>  
> Mit x=0.5:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5-1)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(-0.5)^{5k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k}[/mm]

Du kannst hier noch das [mm] 2^k [/mm] kürzen, weiterhin gilt [mm] (-1)^k=(-1)^{5k}: [/mm]
[mm] \qquad $\bruch{2^{k}}{k^{2}}(0.5)^{5k}*(-1)^{5k}=\bruch{(0.5)^{4k}}{k^{2}}*(-1)^{k}$ [/mm]
Nun Leibnizkriterium. Oder, wenn du den Fall x=1,5 gleich mit erschlagen willst, wieder den Quotienten bilden (mit Betrag).

>  
> Ich komme hier nicht weiter :(
>  
> Danke vorab.

LG

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