Konvergenz von Reihe beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Greekti |
| Aufgabe 1 | Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2^(n^2)} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_k [/mm] eine absolut konvergente Reihe. Zeigen sie:
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^2_{k} [/mm] konvergiert |
Was ich bisher habe:
1a)
Per Quotientenkriterium bin ich auf [mm] \bruch{(n+1)^2}{2^{2n+1}} [/mm] gekommen. Jetzt fehlt mir dennoch ein Ansatz zum weiterkommen - wie zeige ich dass dies kleiner als ein beliebiges q ist?
2)
Hier fehlt mir leider komplett der Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Greekti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2^{n^2}}[/mm]
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_k[/mm] eine absolut konvergente Reihe.
> Zeigen sie:
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^2_{k}[/mm] konvergiert
> Was ich bisher habe:
> 1a)
> Per Quotientenkriterium bin ich auf
> [mm]\bruch{(n+1)^2}{2^{2n+1}}[/mm] gekommen. Jetzt fehlt mir dennoch
> ein Ansatz zum weiterkommen - wie zeige ich dass dies kleiner als ein beliebiges q ist?
Es handelt sich um eine Nullfolge
[mm] \bruch{(n+1)^2}{2^{2n+1}}=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\frac{1}{2^n}.
[/mm]
Es ist [mm] \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} [/mm] beschränkt wegen [mm] 2^n\geq n^2, n\geq [/mm] 4 und [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] ist Nullfolge. Allgemein gilt "Exponentielles Fallen schlägt polynomielles Wachstum".
>
> 2)
> Hier fehlt mir leider komplett der Ansatz.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_k|=C<\infty.
[/mm]
Zeige
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_k^2\leq\left(\summe_{n=1}^{\infty}|a_k|\right)^2
[/mm]
LG
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