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Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \summe_{i=1}^{+\infty} \bruch{1}{m(m+1)(m+2)}
[/mm]
Wie geht man davor? Bitte um Hilfe. Danke.
Die Verzweifelte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
Es gilt:
[m]\frac{1}{m(m+1)(m+2)}\blue{=}\frac{1}{2m}-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2m+4}[/m]
Damit ist die Aufgabe vielleicht(?) zu lösen.
Wie kommt man nun auf das, was nach dem ersten Gleichheitszeichen steht (also nach dem blauen, also nach [mm] $\blue{=}$)?
[/mm]
Idee:
gesucht ist eine Darstellung des Ausdruckes:
[mm] $\frac{1}{m(m+1)(m+2)}$ [/mm] in der Form [mm] $\frac{A}{m}+\frac{B}{m+1}+\frac{C}{m+2}$, [/mm] also $A,B,C$, so dass:
[mm] $\frac{1}{m(m+1)(m+2)}=\frac{A}{m}+\frac{B}{m+1}+\frac{C}{m+2}$ [/mm] gilt.
Macht man nun hier den Ausdruck rechterhand Nennergleich, so erhält man (nach ausmultiplizieren und zusammenfassen im Zähler rechterhand):
[m]\frac{1}{m(m+1)(m+2)}=\frac{m²(A+B+C)+m(3A+2B+C)+2A}{m(m+1)(m+2)}[/m]
Etwas umschreiben liefert:
[m]\frac{m^2*\red{0}+m*\blue{0}+\green{1}}{m(m+1)(m+2)}=\frac{m²\red{(A+B+C)}+m\blue{(3A+2B+C)}+\green{2A}}{m(m+1)(m+2)}[/m]
Damit erhält man (durch Koeffizientenvergleich im Zähler) drei Gleichungen für $A,B,C$:
(I) $A+B+C=0$
(II) $3A+2B+C=0$
(III) $2A=1$
Dieses Gleichungssystem besitzt als (einzige) Lösung (rechne es bitte nach!):
[mm] $A=\frac{1}{2}$, [/mm] $B=-1$ und [mm] $C=\frac{1}{2}$
[/mm]
Damit erhält man dann den Ausdruck, der direkt nach [mm] $\blue{=}$ [/mm] steht!
(PS: Du kannst zur Kontrolle auch einfach mal [mm] $\frac{1}{2m}-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2m+4}$ [/mm] nennergleich machen und zusammenfassen, dann kommt (hoffentlich  ) als Ergebnis:
[mm] $\frac{1}{m(m+1)(m+2)}$ [/mm] raus!)
Versuche nun, damit die Summe zu vereinfachen
(Eventueller(?) Hinweis: Betrachte die zugehörige Partialsummenfolge und studiere die Vorgehensweise in ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 6.2 [mm] ($\leftarrow$ einfach anklicken).)
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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Hallo Marcel,
danke für deine tolle lösung, aber ich soll einen knokreten grenzwert angeben. Nach meinem Brönstein-lexikon muss da 1/4 rauskommen, aber ich weiß nicht wie man so was lösen soll.
Vielleicht kannst du mir ja helfen?
Die Total-verzweifelte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Verzweifelte,
leider hatte sich da ein Fehler eingeschlichen:
Richtig ist nur folgende Gleichung:
[m]\frac{1}{m(m+1)(m+2)}\blue{=}\frac{1}{2m}-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2m+\red{4}}[/m]
(Ich habe mittlerweile alles korrigiert und die Formulierungen etwas geändert. Lies dir das ganze vielleicht jetzt noch einmal durch:
https://matheraum.de/read?i=26462.)
Jedenfalls wäre die Idee, die Summe dann so zu schreiben:
[m]\summe_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m(m+1)(m+2)}
=\lim_{n \to \infty}\summe_{m=1}^n\left(\frac{1}{2m}-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2m+4}\right)[/m]
So, jetzt müßte man versuchen, da etwas zusammenzufassen. Leider sehe ich noch nicht ganz, wie. Aber ich habe eine Idee, ich muss sie nur erst mal auf dem Blatt ausrechnen. Ich melde mich dann evtl. nochmal, wenn ich etwas habe.
PS: Sorry, aber das wirklich ein dämlicher Fehler meinerseits (ich war auch etwas in Eile; ich ärgere mich aber trotzdem über so einen blöden Flüchtigkeitsfehler). Dennoch:
Du solltest meine Vorschläge kontrollieren und nicht einfach alles glauben, was ich schreibe. Es wäre schön, wenn du dich mal aktiv an deiner Frage beteiligen würdest. Schliesslich willst du ja auch etwas wissen und lernen!
Viele Grüsse,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:11 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Verzweifelte,
leider ist mir etwas dazwischengekommen, ich hatte bis jetzt keine Zeit mehr, mich mit deiner Aufgabe zu befassen. Vielleicht ist der Tipp aber dennoch brauchbar, keine Ahnung. Das ist mir jetzt zu spät, das alles durchzurechnen. Leider wird das vor Montag vermutlich nix mehr werden, ich stelle deine Frage deshalb mal auf halb beantwortet, vielleicht findet sich ja bis dahin jemand anderes, der Zeit hat, sich mit der Aufgabe zu befassen.
Aber wie gesagt: Wir sind nun mal keine Lösungsmaschinen für deine (verschmähten) Aufgaben, sondern der Sinn dieses Forums ist es, dir Tipps zu geben, so dass du lernst, deine Aufgaben nach und nach immer mehr alleine zu lösen. Natürlich darfst du nachfragen, wenn dir etwas unklar ist oder wenn du gar nicht weißt, wo du anfangen sollst. Du solltest dir aber angewöhnen, dir zu deinen Aufgaben Gedanken zu machen und uns diese Gedanken auch mitzuteilen. Durch bloßes Abschreiben lernen nur die wenigsten etwas. Hier ein Leitspruch, den ich dir ans Herz legen will:
Learning by doing!
Probier es mal aus. Wenn du dich ab jetzt mal nach und nach um deine Aufgaben kümmerst, dann wirst du feststellen, dass da etwas dran ist. Es ist schließlich noch kein Meister vom Himmel gefallen.
Wenn du merkst, dass du bei einer Aufgabe an einer Stelle nicht weiterkommst, dann bist du hier genau richtig. Aber erwarte nicht von uns, dass wir in Zukunft alle deine Aufgaben für dich lösen werden. Das ist nicht der Sinn dieses Forums. Und wenn du diese Einstellung dennoch hast, wenn du also denkst, dass es ja andere Leute gibt, die deine Aufgaben für dich lösen können, dann denke mal drüber nach, ob du vielleicht doch das falsche Studienfach gewählt hast (Ich meine damit nur: Warum studierst du dann etwas, was dich gar nicht interessiert? Dann solltest du dir ein Studienfach aussuchen, wo auch das Interesse vorhanden ist...). Wie gesagt: Ich kenne jetzt deine (persönlichen) Gründe nicht, warum du keine Lösungsansätze lieferst und warum du nicht versuchst, die Hinweise zu benutzen bzw. warum du dich gar nicht um deine Aufgaben kümmerst.. Lernstreß? Zeitmangel? Sonstige Probleme? (Du brauchst darauf gar nicht zu antworten, wenn du nicht magst. Aber ich weiß ja auch, dass man es nicht immer leicht hat und das viele (negative) Dinge auch gleichzeitig auf einen zukommen können und dass man dann überfordert ist und man nicht mehr weiß, wo einem der Kopf steht...). Aber ich hoffe, dass es nicht die Regel ist, sondern dass du dich generell darum bemühst, deine Aufgaben zu lösen...
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:25 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hm, eigentlich wollte ich längst schlafen...
Aber egal, irgendwie konnte ich nicht einschlafen, und deswegen ist mir irgendwie klargeworden, dass meine Gleichung schon so gut wie alles ist. Ich schreibe sie mal so hin, dass du sie vernünftig anwenden kannst (wenn du dir mal das Beispiel in meinem ersten Tipp anguckst):
Es gilt:
[m]\frac{1}{m(m+1)(m+2)}\blue{=}\frac{1}{2m}-\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2m+4}[/m]
[m]=\frac{1}{2m}-\frac{2}{2m+2}+\frac{1}{2m+4}[/m]
[m]=\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+2}+\frac{1}{2m+4}-\frac{1}{2m+2}[/m]
[m]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+1}\right)[/m]
(Zu dem [mm] $\blue{=}$: [/mm] siehe hier.)
Schau dir also Beispiel 6.2 [mm] ($\leftarrow$ einfach anklicken) an (und tue das wirklich; d.h., versuche zu verstehen, was da gemacht wird; das ist nämlich eigentlich wirklich sehr einfach), und damit solltest du die Aufgabe jetzt auch wirklich gelöst bekommen. Dann erhältst du als Grenzwert deiner Reihe auch $\frac{1}{4}$.
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Verzweifelte |
Hallo Marcel,
also erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab mir deine Ratschläge zu Herzen gekommen. Es ist aber nicht richtig, wenn du glaubst, dass ich mir keine Mühe gebe. Ich war an der Aufgabe schon mehrere Studen gesessen, bis ich sie ins Forum gestellt habe. Also hab ich mich sehr wohl mit der Aufgabe beschäftigt. Aber was soll ich machen, wenn ich nicht auf die Lösung komm?
Also ich hab mir das Beispiel 6.2. angeschaut, und ich versteh nicht, warum,
[mm] \summe_{v=1}^{n} \bruch{1}{v}- \summe_{v=2}^{n+1} \bruch{1}{v}= [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] ist. Wie kommt man drauf?
Ich hab auch an meiner Aufgabe gerechnet und komm nicht auf
[mm] \bruch{1}{4}, [/mm] sondern auf [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ich bin bis zu dieser Stelle gekommen, und weiß nicht wie jetzt [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus kommen soll:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2k+4}
[/mm]
Bitte antworte mir so schnell wie möglich zurück.
Ich danke dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 So 21.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Verzweifelte,
schön, glücklicherweise habe ich jetzt doch noch die Zeit gefunden, etwas im Forum zu arbeiten (das ist keine wirkliche Arbeit, ich helfe ja freiwillig . Die Arbeit ist also das Vergnügen. )... Ich dachte eigentlich, am Wochenende habe ich gar keine Zeit mehr...
> Hallo Marcel,
> also erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
> Ich hab mir deine Ratschläge zu Herzen gekommen. Es ist
> aber nicht richtig, wenn du glaubst, dass ich mir keine
> Mühe gebe.
Entschuldige, aber man bekommt solch einen Eindruck, wenn die Rückfragen, die gestellt werden, nicht zeigen, dass du überhaupt etwas versucht hast...
> Ich war an der Aufgabe schon mehrere Studen
> gesessen, bis ich sie ins Forum gestellt habe. Also hab ich
> mich sehr wohl mit der Aufgabe beschäftigt. Aber was soll
> ich machen, wenn ich nicht auf die Lösung komm?
Na gut, manchmal steht man vielleicht auch nur etwas auf dem Schlauch! Passiert mir ja auch.
> Also ich hab mir das Beispiel 6.2. angeschaut, und ich
> versteh nicht, warum,
>
> [mm]\summe_{v=1}^{n} \bruch{1}{v}- \summe_{v=2}^{n+1} \bruch{1}{v}=[/mm]
> 1- [mm]\bruch{1}{1+n}[/mm] ist. Wie kommt man drauf?
Siehst du, an dieser Frage erkenne ich, dass du dir Beispiel 6.2 angeschaut hast, sonst würdest du ja den Inhalt nicht kennen. So gefällt mir das schon besser.
Nun zu deiner Frage:
Es gilt doch sicherlich:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\summe_{v=1}^{n} \bruch{1}{v}- \summe_{v=2}^{n+1} \bruch{1}{v}=\underbrace{\frac{1}{1}+\summe_{v=2}^n\frac{1}{v}}_{=\summe_{v=1}^{n} \bruch{1}{v}}-\left(\underbrace{\left(\summe_{v=2}^{n} \bruch{1}{v}\right)+\bruch{1}{n+1}}_{=\summe_{v=2}^{n+1} \bruch{1}{v}}\right)=1+\left(\red{\summe_{v=2}^n\frac{1}{v}}}\right)-\left(\red{\summe_{v=2}^n\frac{1}{v}}}\right)-\frac{1}{n+1}
=1-\frac{1}{n+1}[/mm]
Verstehst du es nun? War doch gar nicht so schwer, oder?
> Ich hab auch an meiner Aufgabe gerechnet und komm nicht auf
>
> [mm]\bruch{1}{4},[/mm] sondern auf [mm]\bruch{1}{2}
[/mm]
> Ich bin bis zu dieser Stelle gekommen, und weiß nicht wie
> jetzt [mm]\bruch{1}{4}[/mm] raus kommen soll:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2k+4}
[/mm]
Na gut, schauen wir es uns mal an:
Es gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m(m+1)(m+2)}
=\summe_{m=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+1}\right)\right)}[/m]
[m]=\frac{1}{2}\left(\summe_{m=1}^{n}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)+\summe_{m=1}^{n}\left(\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+1}\right) \right)
=\frac{1}{2}\left(\summe_{m=1}^{n}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)-\summe_{m=1}^{n}\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}\right) \right)[/m]
[m]\red{=}\frac{1}{2}\left(\left(\underbrace{\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m}-\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m+1}}_{=1-\frac{1}{n+1};\;vgl.\;Bsp.6.2}\right)-\left(\underbrace{\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m+1}-\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m+2}}_{=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2};\;analog\;zur\;Ueberlegung\;von\;Bsp.\;6.2;\;vgl.\;auch\;(\star)}\right) \right)[/m]
[m]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n+1}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\right)\right)[/m]
[m]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)[/m]
Fazit also:
Es gilt für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m(m+1)(m+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)[/m]
Damit folgt nun:
[m]\summe_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m(m+1)(m+2)}[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty}\left(\summe_{m=1}^{n}\frac{1}{m(m+1)(m+2)}\right)[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\right)[/m]
Und? Wie geht es nun weiter? Siehst du es?
PS: Anstatt [mm] $(\star)$ [/mm] (bzw. etwas analoges zu [mm] $(\star)$; [/mm] das Analoge steht in der Zeile mit dem [mm] $\red{=}$ [/mm] bzw. in der darauffolgenden Zeile) zu benutzen, hätte man auch direkt das Ergebnis aus Beispiel 6.2 hier anwenden können (und man hätte weniger Schreibarbeit...). Aber damit du das Prinzip von Beispiel 6.2 verstehst, habe ich die Rechnung hier vollkommen analog zu dem Beweis aus Beispiel 6.2 gemacht. Es ist wichtiger, dass du dieses Prinzip verstehst, als dass du das Ergebnis auswendig behältst.
So, kommst du nun auf den gewünschten Grenzwert? Ich hoffe doch, oder?
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
erstmal vielen vielen Dank, dass du dir so viel Zeit nimmst, um mir zu helfen. Jetzt bin ich auch endlich zur Erleuchtung gekommen Ich war schon total verzweifelt, weil ich nicht auf die Lösung gekommen bin und Beispiele aus dem Analysis Buch von Otto Forster auch nicht verstanden hab.
Jetzt hab ich aber noch ein anderes Problem. Und zwar soll ich untersuchen, ob folgende Reihe konvergiert oder nicht. Ich hab auch schon versucht mit Majoranten- und Quotientenkriterium die Aufgabe zu lösen. Aber ich komm nicht weiter, weil ich keine passende Majorante finde.
Man gab mir den Tipp, mit dem Leipnitzkriterium zu arbeiten. Allerdings haben wir dieses in der Vorlesung noch gar nicht eingeführt.
Die Aufgabe sollte eigentlich mit Majorantenkriterium, Quotientenkriterium oder Cauchy-Kriterium gehen. Aber ich weiß nicht wie.
Kannst du mir vielleicht eine Lösungshilfe geben für folgende aufgabe bis Montag bzw. wie ich die Majorante finden kann:
[mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{m}}{m}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 21.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Verzweifelte,
> Jetzt hab ich aber noch ein anderes Problem. Und zwar soll
> ich untersuchen, ob folgende Reihe konvergiert oder nicht.
> Ich hab auch schon versucht mit Majoranten- und
> Quotientenkriterium die Aufgabe zu lösen. Aber ich komm
> nicht weiter, weil ich keine passende Majorante finde.
> Man gab mir den Tipp, mit dem Leipnitzkriterium zu
> arbeiten. Allerdings haben wir dieses in der Vorlesung noch
> gar nicht eingeführt.
> Die Aufgabe sollte eigentlich mit Majorantenkriterium,
> Quotientenkriterium oder Cauchy-Kriterium gehen. Aber ich
> weiß nicht wie.
>
> Kannst du mir vielleicht eine Lösungshilfe geben für
> folgende aufgabe bis Montag bzw. wie ich die Majorante
> finden kann:
>
> [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{m}}{m}[/mm]
Diese Frage hast du hier bereits gestellt:
https://matheraum.de/read?i=26748
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:06 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Marcel!
Ich studiere zusammen mit der "Verzweifelten" Mathe. Ich hab die Aufgabe dank deiner Hilfe jetzt auch verstanden. Dennoch hätte ich eine Frage an dich. Ich hab nämlich, bevor ich diese Lösung hier gesehen habe, die mit schlüssig ist, eine eigene Lösung versucht, bei der ich aber nicht mehr weiterkomme.
Ich hab nämlich auch den langen Term in die 3 Terme
[mm] \bruch{1}{2m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{m+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2m+4} [/mm] aufgespalten, den ich anschließend so zusammengefasst habe, dass dann am Ende das hier übrigbleibt:
[mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+4} [/mm] - [mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+1}.
[/mm]
wegen: [mm] \summe_{m=1}^{ \infty} (\bruch{1}{2m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{m+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2m+4} [/mm] ) =
( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + ...) - [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ...) + [mm] (\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + ...)
Wie kann ich nun den Grenzwert von
[mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+4} [/mm] - [mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+1}
[/mm]
bestimmen? Ich hab es probiert, es analog der Aufgabe zu machen, die du für die Verzweifelte gelöst hast, aber es stimmt einfach nicht.
Kann es sein, dass ich vorher schon einen Fehler gemacht habe?
Danke für deine Hilfe. Eigentlich hab ich ja schon eine Lösung, aber mich ärgert es einfach, warum ich die Aufgabe nicht auf meine Weise lösen kann.
Destiny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Di 23.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Destiny,
ich wollte nur mal Bescheid geben:
Es tut mir leid, aber ich habe momentan keine Zeit, mich damit zu befassen.
> Hallo, Marcel!
>
> Ich studiere zusammen mit der "Verzweifelten" Mathe. Ich
> hab die Aufgabe dank deiner Hilfe jetzt auch verstanden.
> Dennoch hätte ich eine Frage an dich. Ich hab nämlich,
> bevor ich diese Lösung hier gesehen habe, die mit schlüssig
> ist, eine eigene Lösung versucht, bei der ich aber nicht
> mehr weiterkomme.
>
> Ich hab nämlich auch den langen Term in die 3 Terme
>
> [mm]\bruch{1}{2m}[/mm] - [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2m+4}[/mm]
> aufgespalten, den ich anschließend so zusammengefasst habe,
> dass dann am Ende das hier übrigbleibt:
> [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+4}[/mm] - [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+1}.[/mm]
>
>
> wegen: [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} (\bruch{1}{2m}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2m+4}[/mm] ) =
> ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] + ...) -
> [mm](\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + ...) +
> [mm](\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}[/mm] + ...)
Ich sehe gerade nicht, was du da zusammengefasst hast und ob das stimmt. I.A. darf man die Summanden einer Reihe jedoch nicht so ohne weiteres umordnen, ich weiß jetzt nicht, ob du das getan hast.
> Wie kann ich nun den Grenzwert von
> [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+4}[/mm] - [mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+1}[/mm]
Das bringt dich aber auch nicht weiter. Es gilt ja:
[mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+4}=\infty[/mm] und
[mm]\summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{1}{2m+1}=\infty[/mm], und
[mm] $\infty -\infty$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck. Vielleicht versuchst du mal, deine Überlegungen auf die Teilsummenfolge anzuwenden und auch etwas genauer zu erklären, was du machen willst. So ganz blicke ich da momentan leider nicht durch und, wie gesagt, mir fehlt auch die Zeit, mich damit zu befassen. Aber wenn du das ganze mal detaillierter erläuterst, findet sich vielleicht ja auch jemand anderes, der sich damit befassen kann.(?)
Viele Grüße,
Marcel
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