Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
habe die folgenden z.B. die folgenden Reihen auf Konvergenz zu untersuchen:
1. Untersuchen sie die Konvergenz folgender Reihen:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (3+(-1)^{n})^{-n}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n^{-n}}
[/mm]
Weiß aber leider nicht genau, wie das funktioniert. Irgendwie muss man das ja in Partialsummen zerlegen.
Zu (a) wäre das vielleicht [mm] s_{m}:= \summe_{n=1}^{m} [/mm] (3 [mm] +(-1)^{1})^{-1}+ [/mm] ...+ [mm] (3+(-1)^{m})^{-m}
[/mm]
Damit eine Reihe konvergiert, muss die Folge der Partialsumme beschränkt sein. Wie kann ich aber herausfinden, ob eine Beschränkung vorliegt?
Notwendiges Kriterium für Konvergenz einer Reihe ist außerdem, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= [/mm] 0
Komme aber leider überhaupt nicht weiter! Kann ich jetzt einfach wie sonst bei den Folgen die die Partialsumme nehmen und gucken, ob sie gegen 0 konvergiert
[mm] |\summe_{n=1}^{m} [/mm] (3 [mm] +(-1)^{1})^{-1}+ [/mm] ...+ [mm] (3+(-1)^{m})^{-m} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon?? [/mm]
Vielen Dank für Hilfe im Voraus;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Sa 03.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Nabend niente!
Was du meinst ist das Konvergenzkriterium von Cauchy:
[mm] \summe a_{n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N gibt, so dass für alle [mm] n>m\ge [/mm] N gilt:
[mm] |s_{n}-s_{m}|=|a_{m+1}+...+a_{n}|<\varepsilon
[/mm]
Bei konkreten Reihen ist es aber durchaus zweckdienlich sich auch andere Konvergenzkriterien anzuschaun.
1.) Quotientenkriterium:
Ist [mm] a_{n} [/mm] eine Reihe komplexer Zahlen, mit [mm] a_{n}\not= [/mm] 0 für fast alle n.
Ist [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\le [/mm] q. Dann gilt:
Ist q<1 so konvergiert [mm] \summe a_{n} [/mm] absolut
Ist q>1 so ist [mm] \summe a_{n} [/mm] divergent
2.) Wurzelkriterium
Sei [mm] \summe a_{n} [/mm] eine Reihe gilt für fast alle n [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}\le [/mm] q und q<1 so konvergiert die Reihe [mm] \summe a_{n}. [/mm] Ist q>1 so divergiert die Reihe [mm] \summe a_{n}.
[/mm]
Die Anwendung dieser Kriterien sollte dich zu Ziel führen.
MfG
saxneat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
danke für deine Antwort. Das Problem ist nur, dass ich diese Definitionen auch kenne, aber nicht recht weiß, wie ich damit hantieren soll. Ich weiß einfach nicht, wie ich es angehen muss, Konvergenz bei Reihen zu überprüfen.
Bspw. Bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\wurzel{n^{-n}}
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \forall m\ge k\ge [/mm] N
[mm] s_{k}:= \summe_{n=1}^{k}\wurzel{n^{-n}}
[/mm]
[mm] s_{m}:= \summe_{n=k}^{m}\wurzel{n^{-n}}
[/mm]
und jetzt? wie mache ich weiter? Verstehe das leider nicht;(.
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen,
vielen Dank schon einmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niente!
Hier bietet sich das Wurzelkriterium an, da wir das $n_$ im Exponenten haben:
[mm] $\wurzel[n]{ \ \left| \ a_n \ \right| \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{ \ \left| \ \wurzel{n^{-n}} \ \right| \ } [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left( \ n^{-n} \ \right)^{\bruch{1}{2}} \ \right]^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ n^{-n} \ \right)^{\bruch{1}{2n}} [/mm] \ = \ [mm] n^{-n*\bruch{1}{2n}}\ [/mm] = \ [mm] n^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}$
[/mm]
Und existiert hier ein Grenzwert $< \ 1$ für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Loddar:),
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe nun so weiter gemacht:
z.z: | [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}} [/mm] -0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{ \wurzel{n}} [/mm] -0| [mm] \le |\bruch{1}{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Setze N [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
... dann passt es:). Geht das denn so, obwohl das eine Reihe ist? Ich habe doch gar keine Partialfolge gewählt, sondern bin wie bei den Folgen vorgegangen...
Danke im Voraus:)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 03.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo niente
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{n}. [/mm] aber du musst ja nur<1 zeigen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 04.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
danke für deine Antwort. Was muss ich denn jetzt zeigen? Durch das Wurzelkriterium habe ich ja:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \le [/mm] q und wenn q<1, so konvergiert der Reihe. Wie muss ich denn jetzt mein q bestimmen bzw. abschätzen? Kann ich z.B. sagen, sei [mm] q=\bruch{1}{2\wurzel{n}} [/mm] < 1 geht das?
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen!
Danke schon einmal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niente!
Für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ kannst Du doch sagen: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.707 \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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