Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
Ich möchte zeigen dass die Reihe :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n} [/mm] konvergiert oder nicht
Mit dem Quotientenkriterium gelange ich zu :
[mm] \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzell{n+1} \le [/mm] q 0<q<1
da aber [mm] \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzel{n+1} [/mm] gegen 1 strebt ,
gibit es kein 0<q<1 ,
so dass : [mm] \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzel{n+1} [/mm] < q
Frage 1 : Ist das Quotientenkriterium äquivalent zur absoluten
Konvergenz ? habe ich jetzt also gezeigt das obige Reihe
nicht absolut konvergiert ?
wenn ja folgt Frage 2 :
Frage 2 : wenn ich also jetzt gezeigt habe , dass an nicht absolut
konvergiert , kann ich dann aufgrund der Tatsache , dass
Die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n}
[/mm]
gleich der Reihe der Absolutbeträge ist (weil die Folgenglieder
der Folge [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] immer positiv sind)
sagen , dass die Reihe [mm] summe_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n}
[/mm]
nicht konvergiert ??
Habt Dank für Rat
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 22.11.2006 | | Autor: | wimajoe |
Hallo Tommylee!
Also erstmal etwas Allgemeines:
Es gibt verschiedene Konvergenzkriterien für Reihen.
eine davon ist das Quotientenkriterium.
Es besagt: Existiert q := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| a_{k+1}|}{a_{k}}, [/mm] so ist [mm] a_{k}
[/mm]
I. für 0<q<1 absolut konvergent
II. für q=1 keine Aussage ( kann konvergent sein oder nicht !!!)
III. q > 1 divergent
Bei dir trifft II. zu
Das heißt, es ist nicht klar, ob die Folge (absolut) konvergiert oder nicht.
Du hast noch garnichts gezeigt - du musst dir ein anderes Konvergenzkriterium suchen
(Frage 1 hoffentlich damit beantwortet)
Frage 2:
das kannst du wegen II. so nicht sagen.
Nimm einfach ein anderes Konvergenzkriterium, z.B.
das Minorantenkriterium:
Die Reihe [mm] a_{k} [/mm] ist divergent (konvergiert nicht), wenn existiert ein [mm] b_{k}, [/mm] sodass
| [mm] a_{k}| \ge b_{k} [/mm] ist, und [mm] b_{k} [/mm] divergent ist, dann ist auch [mm] a_{k} [/mm] divergent.
Als divergente Minorante kannst du hier wählen die sogen. Harmonische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{1}{n}.
[/mm]
Diese Reihe ist divergent.
Außerdem gilt [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
Warum ist [mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{1}{n}. [/mm] divergent?
Weil ( 1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... + 1/n > (1/2) + (1/2) + (1/2) + ... = [mm] \bruch [/mm] {n}{2}
[mm] \bruch [/mm] {n}{2} ist eine divergente Minorante und deshalb ist [mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{1}{n}. [/mm] auch divergent
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