Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mo 25.06.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | | geg: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{n} \cdot x^{n} [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz dazu lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{2^{n}\cdot x^{n}} [/mm] < 1
[mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \cdot \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{2^{n}} [/mm] < 1
Ist das soweit richtig? Irgendwie weiß ich aber nicht so recht, wie ich weiter vorgehen muss.
Könnte mir bitte jemand helfen.
Vielen lieben Dank im voraus.
|
|
| |
|
Hey clover84.
Was du hier vorliegen hast, ist eine Potenzreihe, dh gesucht ist ein x, für das die Reihe konvergiert. Eine Potenzreihe sieht grundsätzlich folgend aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}
[/mm]
1) [mm] x^{n}: [/mm] Du musst ein x finden, sodass die gesamte Reihe konvergiert.
2) [mm] a_{n}: [/mm] Dies ist eine Folge, in unsrem Fall [mm] 2^{n}. [/mm] Diese divergiert eindeutig.
Nun überlegt man: Wenn ich x=1 setze, dann bleibt mir nur mehr noch die folge [mm] a_{n}. [/mm] Diese divergiert, also divergiert mir die Reihe für x=1.
Nun überlegt man weiter: Wenn ich x=0 einsetze, ist der Grenzwert der Reihe 0. Toll, divergiert nicht. Hmm, aber was ist zwischen x=0 und x=1??? Geht da was?
Dafür gibt's das Quotientenkriterium, mit dem du feststellen kannst, welche Werte für x möglich sind, sodass die Reihe konvergiert.
Quotientenkriterium lautet: [mm] L=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
Der Konvergenzradius lautet: R=1/L
Der Konvergenzradius gibt das maximale x an, bei dem die Reihe konvergiert.
Wir betrachten mal die Folge [mm] a_{n}:
[/mm]
:: [mm] L=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{n+1}}{2^{n}}|
[/mm]
:: [mm] L=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2*2^{n}}{2^{n}}|=2
[/mm]
Fein, Grenzwert beträgt 2.
Nun berechnen wir den Konvergenzradius:
:: R=1/L
:: R=1/2
:: R=0.5
Stell dir jetzt mal deine Reihe vor. Ersetze x durch [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Normalerweise konvergiert nun die Reihe für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0.5 !
Tipp: Versuch das selbe Verfahren bei negative Werte für x!
Gruß, h. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mo 25.06.2007 | | Autor: | clover84 |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Das hilft mir sehr weiter.
|
|
|
|
