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| Aufgabe | | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, indem Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Partialsummen ermitteln: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{n}) [/mm] |
Ich grüße alle im matheraum, ich habe mir überlegt, die Reihe ist divergent, da sie den Wert [mm] \infty [/mm] hat, der Term [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] geht gegen 1, erreicht aber niemals 1, somit ist der ln dieses Terms immer größer 0 und positiv, ln(1)=0, da komme ich aber nicht hin, ich addiere unendlich viele positive (zwar immer kleiner werdende) Summanden.
Liege ich damit auf der richtigen Spur? Was bedeutet noch allgemeiner Ausdruck der Partialsumme?
Dank an Euch Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
wenn für die Reihe der GW existieren würde, wäre er der Grenzwert der Partialsummen,
also [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
[/mm]
Schreiben wir doch mal sone k-te Partialsumme auf:
Allerdings schreiben wir vorher [mm] \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) [/mm] um in [mm] \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln(n)
[/mm]
[mm] S_k=\sum\limits_{n=1}^{k}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
[/mm]
[mm] =(\ln(2)-\ln(1))+(\ln(3)-\ln(2))+(\ln(4)-\ln(3))+.....+(\ln(k)-\ln(k-1))+(\ln(k+1)-\ln(k))
[/mm]
Das ist doch ne wunderbare Teleskopsumme, in der sich fast alles weghebt bis auf
[mm] $-\ln(1)+\ln(k+1)=\ln(k+1)$
[/mm]
Da [mm] \ln(k+1)\to\infty [/mm] für [mm] k\to\infty [/mm] divergiert die Folge der Partialsummen gegen [mm] \infty,
[/mm]
die Reihe ist also divergent
Gruß
schachuzipus
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Danke für die wunderbare Erklärung
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