Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 04.12.2007 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert. |
Hallo an alle!
Hab keine Idee außer nem kleinen Ansatz dass ja dann die Folge [mm] \bruch{a_{k}}{1+a_{k}} [/mm] gegen 0 konvergiert.....
Viele Grüße!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Di 04.12.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo sie-nuss!
Wie lautet denn die konkrete Aufgabenstellung? Soll man das beweisen oder widerlegen? Gibt es zusätzliche Angaben zu [mm] $a_k$ [/mm] ?
Bitte mal die vollständige Aufgabenstellung posten ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Di 04.12.2007 | | Autor: | sie-nuss |
also die genau aufgabenstellung ist eigentlich die Äquivalenz zu zeigen. aber die eine Richtung war einfach :)
Ja, sorry ich hab vergessen zu sagen dass [mm] (a_{k}) \subset \IR_{+} \backslash [/mm] {0}
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}}[/mm] konvergiert
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] konvergiert.
> Hallo an alle!
>
> Hab keine Idee außer nem kleinen Ansatz dass ja dann die
> Folge [mm]\bruch{a_{k}}{1+a_{k}}[/mm] gegen 0 konvergiert.....
Hallo,
und weil das so ist, konvergiert [mm] a_k [/mm] gegen Null, ist also nach oben beschränkt, etwa durch s
Ich würde hier mit dem Cauchykriterium arbeiten und folgendes tun
[mm] |\summe_{k=1}^{n} a_{k}-\summe_{k=1}^{m} a_{k}|= a_{m+1}+...+a_n =\bruch{s+1}{s+1}(a_{m+1}+...+a_n)
[/mm]
und dann weiter, indem Du später Cauchy für [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}} [/mm] ins Spiel bringst.
Gruß v. Angela
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