Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \frac{(-1)^n}{n^2})
[/mm]
b) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2} [/mm] + [mm] \frac{(-1)^n}{n})
[/mm]
e) [mm] \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\wurzel[n]{n} - \wurzel[n+1]{n+1}}{n}
[/mm]
f) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{\frac{3}{4}}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(a)
[mm] a_n [/mm] := [mm] \begin{cases} \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
[mm] b_k [/mm] := [mm] a_{2k-1} [/mm] + [mm] a_{2k}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} b_k [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{k} [/mm] + [mm] \frac{1}{k^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k}
[/mm]
Da [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k} [/mm] divergiert [mm] \Longrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_n [/mm]
Also divergiert (a)
(b)
ähnlich wie (a) nur [mm] b_k [/mm] konvergiert und (b) konvergiert [mm] (b_k=1/k^2)
[/mm]
(e) hm.. hier forme ich um zu:
[mm] \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}(\wurzel[n]{n} [/mm] - [mm] \wurzel[n+1]{n+1}) [/mm] und dann bleiben mir die argumente aus. 1/n divergiert, aber der ausdruck in den klammern "sehr klein", bzw konvergiert, tip?
(f)
hier habe ich versucht beides nach oben und nach unten abzuschätzen. nach unten bekomme ich eine konvergente reihe - nutzt mir wenig, nach oben eine divergente, nutzt auch nicht viel...
z.b:
[mm] \frac{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^{\frac{3}{4}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{4}}} \frac{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] > [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{4}}} \frac{1}{2\wurzel{n+1}} [/mm] > [mm] \frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{4}}} \frac{1}{(n+1)^{\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{(n+1)^{\frac{5}{4}}} [/mm] kovergiert...
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 12.12.2007 | | Autor: | esiminch |
zu (e):
pardon, ich korregiere mich selbst hier, scheint so als ob ich die lösung habe:
[mm] \frac{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n^\frac{3}{4}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^\frac{3}{4} (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] < [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{4}} 2 \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^\frac{3}{4} 2 n^{\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 n^{\frac{5}{4}}} [/mm] konvergiert, also kovergiert (e) nach dem Majorantenkriterium
bitte um kommentar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo esiminch!
So sieht das schon sehr viel besser aus. Schließlich musst Du bei (vermuteter) Konvergenz jeweils nach oben hin abschätzen.
Nach dem 2. Schritt hättest Du auch alternativ im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern können.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo esiminch,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Diese beiden Aufgaben hättest Du alternativ auch durch Zerlegen in jeweils zwei Einzelreihen lösen können (mit demselben Ergebnis).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mi 12.12.2007 | | Autor: | esiminch |
Hi Loddar, danke für die x-schnelle rekation und die begrüßung:)
für (b) kann ich das auseinander nehmen einsehen, da sind die reihen konvergent, aber in (a) ging ich davon aus das ich divergente reihen nicht auseinander nehmen darf. bzw interpritiere ich deine antwort falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo esiminch!
Du hast mich schon richtig verstanden. Bei Aufgabe a.) entstehen doch eine konvergente sowie eine divergente Teilreihe. Damit kannst Du auch auf die Gesamtreihe schließen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Sa 15.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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