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Hi ich hab mal eine Frage zu der konvergenz von Reihen.
Ich habe ie Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}=(\bruch{1}{\pi})^{2k-6}
[/mm]
umgeformt:
[mm] \pi^{6}*\summe_{k=1}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}
[/mm]
so jetzt gilt der satz, dass die gemetrische reihe konvergiert, wenn |q|<1. er gilt aber nur für summe von 1 bis unendlich.
also würde ich jetzt eine index verschiebung machen. also:
[mm] \pi^{6}*(\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}-1)
[/mm]
[mm] =\pi^{6}*(\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}-\summe_{k=0}^{\infty}1)
[/mm]
diese indexverschiebung macht aber die ganze konvergenz kaputt, da die reihe nun nicht mehr konvergiert.hab noch so ein paar aufgaben, wo die reihe für k=1 konvergiert und für k=0 divergiert.
aber wenn ich mir das überlege kann das irgentwie nicht sein. sind meine umformungen falsch?
Dann gleich noch schnell mal ne frage hinterher:
ich habe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}Re[e^{ik(\pi/6)}]
[/mm]
das re soll realteil bedeuten. ich kann die komplexe zahl in [mm] r(cos\phi+i*sin\phi) [/mm] umschreiben und dann nur den cosinus anteil nehmen, aber dann hab ich ne reihe:
[mm] cos(k*(\pi/6) [/mm] und ich weiss nicht wie ich für die trigonometrischen fkt konvergenz oder divergenz zeigen kann, obwohl ja eigentlich nur divergenz logisch wäre.
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Hallo,
mal vorweg, sofern |q|<0 ist, konvergiert die geometrische Reihe.
Es ist völlig wurscht, wo sie beginnt, denn an der Tatsache der Konvergenz ändert sich ja nichts, wenn man die ersten 4711 Glieder fortläßt.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}=(\bruch{1}{\pi})^{2k-6}[/mm]
> umgeformt:
> [mm]\pi^{6}*\summe_{k=1}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}[/mm]
> so jetzt gilt der satz, dass die gemetrische reihe
> konvergiert, wenn |q|<1. er gilt aber nur für summe von 1
> bis unendlich.
Wo ist das Problem? Du hast die Summe von 1 bis [mm] \infty [/mm] ?
> also würde ich jetzt eine index verschiebung machen.
Aha. Du wünscht Dir, daß es bei Null losgeht.
Dann will ich jetzt mal eine richtige Indexverschiebung für Dich machen:
[mm] \pi^{6}*\summe_{k=1}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}
[/mm]
[mm] =\pi^{6}*\summe_{k=1\red{-1}}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k\red{+1}}
[/mm]
[mm] =\pi^{6}((\bruch{1}{\pi})^{2})*\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}
[/mm]
[mm] =\pi^{4}*\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}
[/mm]
Alternativ kannst Du auch das tun:
[mm] \pi^{6}*\summe_{k=1}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}
[/mm]
[mm] =\pi^{6}*(-1+ [/mm] 1 [mm] +\summe_{k=1}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k})
[/mm]
[mm] =\pi^{6}*(-1+\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k}))
[/mm]
[mm] =-\pi^{6} [/mm] + [mm] \pi^{6}\summe_{k=0}^{\infty}((\bruch{1}{\pi})^{2})^{k})
[/mm]
Gruß v. Angela
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naja ok danke, die indexverschidung hab ch verstanden, aber die geometische reihe konvergiert für |q|<1
siehe ![[]](/images/popup.gif) hier auf seite 7 ganz unten.
oder hab ich da was falsch verstanden?
war halt nur versunsichert, weil im skript die summe bei k=0 startet.
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> naja ok danke, die indexverschidung hab ch verstanden, aber
> die geometische reihe konvergiert für |q|<1
Hallo,
das ist mir durchaus bekannt...
Das hat aber doch mit dem Summationsindex nichts zu tun.
Dein q ist doch in Deinem Falle [mm] \bruch{1}{\pi^2}, [/mm] und das ist kleiner als 1.
> war halt nur versunsichert, weil im skript die summe bei
> k=0 startet.
Es ändert sich natürlich der Reihenwert von [mm] \summe_kq^k, [/mm] je nachdem, wo man losläuft.
Bei Start bei 0 ist er [mm] \bruch{1}{1-q},
[/mm]
bei Start bei 1 ist er [mm] \bruch{q}{1-q}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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ok danke soweit
ich lass es aber mal als frage auf da ich das mit der realteil aufgabe noch net gerafft hab
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>da ich das mit der
> realteil aufgabe noch net gerafft hab
Hallo,
so weit hatte ich vorhin gar nciht gesguckt...
Du willst [mm] \summe_kcos(k*\bruch{\pi}{6}) [/mm] berechnen, wenn ich alles richtig deute.
Immerhin kannst Du ja für sämtliche k den [mm] cos(k*\bruch{\pi}{6}) [/mm] ganz genau angeben.
Hast Du Dir schonmal die ersten 100 (oder etwas weniger) Folgenglieder bzw. Partialsummen aufgeschrieben?
Gruß v. Angela
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ja klar hab ich gemacht, immer wenn [mm] k*\pi/6 [/mm] ein vielfaches ganges vielfaches von [mm] \pi [/mm] annimmt [mm] (\pi, 2\pi, 3\pi...) [/mm] ist die der wert 0. aber dadurch kann ich ja jetzt nicht auch unendlich schließen oder?
ich hätte nach kurzer überlegnung gesagt die reihe divergiert da der cos keine srt.mon. fkt ist.
kann man das so sagen?
wäre er str mon könnte man ja einen trend sehen, ob er ggn unendlich oder eine zahl strebt.
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ja klar hab ich gemacht, immer wenn $ [mm] k\cdot{}\pi/6 [/mm] $ ein den wert eines ganzen vielfachen von $ [mm] \pi [/mm] $ annimmt $ [mm] (\pi, 2\pi, 3\pi...) [/mm] $ ist der wert 0. aber dadurch kann ich ja jetzt nicht auf k->unendlich schließen oder?
ich hätte nach kurzer überlegnung gesagt die reihe divergiert da der cos keine srt.mon. fkt ist.
kann man das so sagen?
wäre er str mon könnte man ja einen trend sehen, ob er ggn unendlich oder eine zahl strebt.
paar viele fehler gemacht, war abgelenkt ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> ja klar hab ich gemacht, immer wenn [mm]k*\pi/6[/mm] ein vielfaches
> ganges vielfaches von [mm]\pi[/mm] annimmt [mm](\pi, 2\pi, 3\pi...)[/mm] ist
> die der wert 0. aber dadurch kann ich ja jetzt nicht auch
> unendlich schließen oder?
> ich hätte nach kurzer überlegnung gesagt die reihe
> divergiert da der cos keine srt.mon. fkt ist.
> kann man das so sagen?
> wäre er str mon könnte man ja einen trend sehen, ob er ggn
> unendlich oder eine zahl strebt.
Nein kann man nicht, denn z.B. ist die alternierende harmonische Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{1}{k}$ [/mm] konvergent, obwohl weder [mm] $a_k=(-1)^k\frac{1}{k}$ [/mm] noch die Partialsummenfolge monoton ist.
Deine Reihe ist divergent, weil ihre Partialsummenfolge periodisch und nicht konstant ist.
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