Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2+k} [/mm] konvergent ist und berechnen Sie ihre Summe.
b) Für eine Folge [mm] (a_n) \subset \IR [/mm] gelte die Beziehung
[mm] \exists C>0,l\in \IN \forall n\ge l:|a_{n+1}-a_n| \le C*\bruch{1}{n^2+n}
[/mm]
Zeigen Sie die Konvergenz von [mm] (a_n).
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist. |
Hallo, ich hab ziemliche Probleme bei dieser Aufgabe, bei der a) funktioniert leider das Quotientenkriterium nicht (es kommt 1 raus), das Wurzelkriterium erscheint mir nicht sinnvoll und jetzt fehlt mir leider der Ansatz (ich vermute mal, dass die Summe 1 ist), muss aber auch dazu sagen, dass ich ein absoluter Anfänger bei diesen Aufgaben bin.
Zu der b) wäre ich auch dankbar für einen Ansatz, wie ich nachweise, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Chauchy-Folge ist.
Besten Dank schon mal im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo rainman,
zur (a) kann ich etwas beisteuern...
Die Konvergenz der Reihe kannst du mit dem Majorantenkriterium zeigen.
Finde eine größere konvergente Reihe (Majorante).
Was den GW (oder Reihenwert) angeht, mache eine Partialbruchzerlegung des Bruchs, das sollte für die Partialsummen eine schöne Teleskopsumme geben, in der sich viel weghebt.
Der Grenzübergang liefert dir dann den GW.
Es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n a_k$
[/mm]
Also Ansatz [mm] $\frac{1}{k^2+k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$
[/mm]
Dann kannst du mal eine $n-te$ Partialsumme aufschreiben:
[mm] $s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}\right)$
[/mm]
Der GW der Reihe ist dann der Limes für [mm] $n\to\infty$ [/mm] der Partialsummen.
zur (b) fällt mir gerade nix ein, ich stelle den Status daher mal auf "teilweise beantwortet"
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Zu a)
Schreib dir mal die einzelnen Summanden auf und bilde die einzelnen Partialsummen (jeweilige Summe bis zum n-ten Glied, also 1. Summand allein, Summe 1.+2. Summand, Summe 1.+2.+3. Summand usw.). Du erkennst sofort die Gesetzmäßigkeit. Die kannst du dann per vollständige Induktion beweisen.
zu b)
Bilde [mm] |a_1-a_n|=|a_1-a_2+a_2-a_3+a_3-...+a_{n-1}-a_n|\le |a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_3|+...+|a_{n-1}-a_n|(Dreiecksungleichung)\le |a_1-a_2|+ C*(\bruch{1}{2^2-2}+\bruch{1}{3^2-3}+...+\bruch{1}{(n-1)^2-(n-1)}
[/mm]
und schau dir jetzt mal den Zusammenhang mit a) an...
|
|
|
|
