Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich möchte folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen
a)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}\*k!}{k^{k}}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k}
[/mm]
c)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k-1}}
[/mm]
Zu a)
Mit dem Quotientenkriterium will ich zeigen, ob es konvergiert oder divergiert.
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = | [mm] \bruch{2^{k+1}\*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \* \bruch {k^{k}}{2^{k}\*k!}| [/mm] = ...(betragstriche weglassen... = [mm] (\bruch{2}{k+1})^{k+1} \* \bruch{k^{k}}{2^{k}\*k!} [/mm]
Ich weiß hier nicht mehr weiter...wie kann ich Fakultät "wegkriegen" ?
Welche Kriterien kann ich für Aufgabe b und c verwenden?
Danke im Voraus =)
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Hallo Matheproof,
> Hallo zusammen,
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> ich möchte folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen
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> a)
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}\*k!}{k^{k}}[/mm]
>
> b)
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k}[/mm]
>
> c)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k-1}}[/mm]
>
>
> Zu a)
>
> Mit dem Quotientenkriterium will ich zeigen, ob es
> konvergiert oder divergiert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gute Idee!
>
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] = |
> [mm]\bruch{2^{k+1}\*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \* \bruch {k^{k}}{2^{k}\*k!}|[/mm]
> = ...(betragstriche weglassen... = [mm](\bruch{2}{k+1})^{k+1} \* \bruch{k^{k}}{2^{k}\*k!}[/mm]
Hmm, wie kommst du darauf?
Ich komme auf [mm] $2\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen ...
Für die Umformungen bedenke, dass [mm] $2^{k+1}=2\cdot{}2^k$, [/mm] da kannst du [mm] $2^k$ [/mm] wegballern.
Außerdem ist [mm] $(k+1)!=(k+1)\cdot{}k!$, [/mm] da kannst du $k!$ auch wegkürzen, das verbleibende $k+1$ kannst du auch gegen ein $(k+1)$ aus dem [mm] $(k+1)^{k+1}$ [/mm] aus dem Nenner kürzen; den Rest fasse mit Potenzgesetzen zusammen ...
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> Ich weiß hier nicht mehr weiter...wie kann ich Fakultät
> "wegkriegen" ?
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> Welche Kriterien kann ich für Aufgabe b und c verwenden?
>
>
> Danke im Voraus =)
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}} [/mm] |
Hallo schachuzipus ,
mit deiner Hilfe hab ich das jetzt glaub ich raus.
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch {k^{k}}{2^{k}*k!}| [/mm] =...= [mm] 2\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k [/mm] = [mm] (\bruch{2}{1+\bruch{1}{k}})^k [/mm] = [mm] \bruch{2}{eulersche Zahl} [/mm] < 1
Da [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] < 1 konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Do 26.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheProof!
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] = [mm]|\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}[/mm] * [mm]\bruch {k^{k}}{2^{k}*k!}|[/mm] =...= [mm]2\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k[/mm] =
> [mm](\bruch{2}{1+\bruch{1}{k}})^k[/mm]
Hier aufpassen mit den Klammern!
> = [mm]\bruch{2}{eulersche Zahl}[/mm] < 1
>
> Da [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] < 1 konvergiert die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}[/mm]
Ansonsten stimmt es.
Gruß
Loddar
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Hallo,
woher weiß ich welches Kriterium ich bei Aufgabe b und c anwenden muss?
gibts da bestimmte Tricks?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
b) sieht irgendwie wie ungefähr 1/k aus, also umformen, a) summe auseinander ziehen,und Partialbruchzerlegung
c Summe auseinanderziehen.
Gruss leduart
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Hi,
ich komm bei c) nicht mehr weiter. Ich habe vermutet, dass man hier die Konvergenz anhand des Leibniz Kriterium beweisen kann, aber ich bekomme keine Gleichung hin, die das [mm] (-1)^k [/mm] aus dem Term ausklammern würde um eine alternierende Reihe zu bilden. Bin ich hier auf dem falschen Pfad? Kann mir wer helfen?
Grüße,
Timo
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Hallo,
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{2^{k-1}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{2^{k-1}} [/mm] $
und es ist ja [mm] 2^{k-1}=2^k*2^{-1}.
[/mm]
Alles was nicht von k abhängt kannst du vor die Summen ziehen. Der Rest sollte an die geom. Reihe erinnern.
Gruß Patrick
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Hallo,
also ich hab dann quasi 2 Teile [mm] 4*\summe_{i=1}^{\infty}2^{-k} [/mm] + [mm] 2*\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^k*\bruch{1}{2^k}, [/mm] oder?
Dann wäre der erste Teil divergent wegen der geometrischen Reihe, da ja 2>1 ist. Der zweite Teil wäre aber konvergeht, da [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] eine monoton fallende Folge ist. Simmt das?
Wie sieht es dann mit der Konvergenz der ganzen Summe aus?
Grüße,
Timo
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Hallo MatheTimo,
> Hallo,
>
> also ich hab dann quasi 2 Teile
> [mm]4*\summe_{i=1}^{\infty}2^{-k}[/mm] +
> [mm]2*\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^k*\bruch{1}{2^k},[/mm] oder?
>
> Dann wäre der erste Teil divergent wegen der geometrischen
> Reihe, da ja 2>1 ist. Der zweite Teil wäre aber
Es steht doch hier
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k}[/mm]
> konvergeht, da [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] eine monoton fallende Folge
> ist. Simmt das?
>
Hier handelt es sich um eine alternierende Reihe.
Um zu zeigen, dass die dazugehörige Reihe konvergent ist,
muß die Folge [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] außerdem noch eine Nullfolge sein.
> Wie sieht es dann mit der Konvergenz der ganzen Summe aus?
>
> Grüße,
>
> Timo
Gruss
MathePower
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Hallo,
wieso ist das eine alternierende Reihe ??? [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k} [/mm]
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Hallo Matheproof,
> Hallo,
>
> wieso ist das eine alternierende Reihe ???
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k}[/mm]
>
Es handelt sich um den zweiten Summanden
[mm]2\cdot{}\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\bruch{1}{2^k}[/mm]
Diese Reihe ist alternierend, da das Vorzeichen von Glied zu Glied wechselt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
also ich hab mit dem Leibnizkriterium gezeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{k}}
[/mm]
konvergiert.
1) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] = 0
2) [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k} \le [/mm] 0 (das hab ich auch gezeigt)
ich schreib das jetzt nicht vollständig auf :
Ergebnis: [mm] \bruch{-1}{2^{k+1}} [/mm] < 0
--> [mm] a_{k} [/mm] fallend --> Reihe konvergiert.
Stimmt das soweit?
und was ist mit dem Summand bzw Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k} [/mm] ???
Reicht es zu sagen: Wenn eine Reihe konvergiert (also der 2.Summand) konvergiert auch die andere Reihe (1. Summand)
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Hallo Matheproof,
> Hallo,
>
> also ich hab mit dem Leibnizkriterium gezeigt, dass die
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2^{k}}[/mm]
>
> konvergiert.
> 1) [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] = 0
>
> 2) [mm]a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k} \le[/mm] 0 (das hab ich auch gezeigt)
> ich schreib das jetzt nicht vollständig auf :
> Ergebnis: [mm]\bruch{-1}{2^{k+1}}[/mm] < 0
> --> [mm]a_{k}[/mm] fallend --> Reihe konvergiert.
>
> Stimmt das soweit?
>
Soweit stimmt das.
> und was ist mit dem Summand bzw Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k}[/mm] ???
Nun, das ist eine geometrische Reihe,
deren Summe berechenbar ist.
>
> Reicht es zu sagen: Wenn eine Reihe konvergiert (also der
> 2.Summand) konvergiert auch die andere Reihe (1. Summand)
Nein.
Vielmehr gilt, wenn zwei Reihen konvergent sind,
dann ist auch die Summe dieser Reihen konvergent.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Matheproof |
Hallo Mathepower,
Vielen Dank für die Hilfe =)
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Hallo,
kann ich nicht bei Aufgabe b das Minorantenkriterium anwenden?
[mm] |\bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k}| =\bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k} =\bruch{ k+k^{0.5}}{k^{2}-k} \ge \bruch{k}{k^{2}}= \bruch{1}{k}
[/mm]
da die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert, ist nach dem Minorantenkriterium die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k} [/mm] divergent ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> kann ich nicht bei Aufgabe b das Minorantenkriterium
> anwenden?
>
> [mm]|\bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k}| =\bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k} =\bruch{ k+k^{0.5}}{k^{2}-k} \ge \bruch{k}{k^{2}}= \bruch{1}{k}[/mm]
>
> da die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] divergiert,
> ist nach dem Minorantenkriterium die Reihe
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^{2}-k}[/mm]
> divergent ???
>
Alles richtig !!
FRED
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