Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | a) Zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k(log(k))^\alpha} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] > 1 konvergiert. |
Hi!
Ich bräuchte mal eine Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Ich habe es schon mit dem Quotienten-Kriterium versucht und auch mit dem Majoranten-Kriterium, aber beide scheiterten... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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Ich hab das zwar schonmal gehört, aber jetzt in der Vorlesung kam das nicht vor. Wenn die Aufgabe nur damit lösbar ist, dann brauch ich die Aufgabe nicht lösen können. Sie stammt aus einem Fragenkatalog unserer Fachschaft, der in diesem Fall dann wohl nicht an unsere Vorlesung angeglichen ist... 
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Hallo!
Womöglich hast du recht - ich denke, man könnte aber auch mit dem ![[]](/images/popup.gif) Verdichtungskriterium hier zu Rande kommen - vielleicht hattet ihr das mal.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan,
> Womöglich hast du recht - ich denke, man könnte aber auch
> mit dem
> Verdichtungskriterium
> hier zu Rande kommen - vielleicht hattet ihr das mal.
ja, das kann man hier anwenden, nur: man erhaelt als Ergebnis im wesentlichen die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, $\alpha [/mm] > 0$. Und fuer die Konvergenz dieser Reihe benutzt man normalerweise wieder das Integralkriterium.
Man kann die Konvergenz sicher auch ohne das Integralkriterium zeigen, die Frage ist nur wie muehsam das ist. Die Aufgabe gehoert vom Typ her zumindest recht eindeutig zu den Integralkriterium-Aufgaben.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Hallo Stefan,
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> > Womöglich hast du recht - ich denke, man könnte aber auch
> > mit dem
> >
> Verdichtungskriterium
> > hier zu Rande kommen - vielleicht hattet ihr das mal.
>
> ja, das kann man hier anwenden, nur: man erhaelt als
> Ergebnis im wesentlichen die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}[/mm],
> [mm]\alpha > 0[/mm]. Und fuer die Konvergenz dieser Reihe benutzt
> man normalerweise wieder das Integralkriterium.
Man kann aber auch wieder das Verdichtungskriterium benutzen 
Dann erhält man:
[mm] $2^{k}*a_{2^{k}} [/mm] = [mm] 2^{k}*\frac{1}{(2^{k})^{\alpha}} [/mm] = [mm] 2^{(1-\alpha)*k} [/mm] = [mm] (2^{1-\alpha})^{k}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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