Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe 1 | | $\ [mm] \sum \frac{1}{(\ln k)^p} [/mm] $ , $\ p [mm] \in \IN [/mm] $ |
| Aufgabe 2 | | $\ [mm] \sum a^{\ln k } [/mm] $ |
| Aufgabe 3 | | $\ [mm] \sum \frac{n!}{n^n} [/mm] $ |
Hallo,
ich habe hier ein paar Reihen, bei denen ich etwas Unsicher bin.
Zur 1.)
Ich weiß nicht, ob ich hier für $\ k $ verschiedene Fälle betrachten muss. Jedenfalls muss $\ k [mm] \not= [/mm] 1 $ sein.
Ich dachte:
Sei $\ k < e $ dann ist $\ [mm] \ln [/mm] k < 1 $ und $\ [mm] \sum \frac{1}{(\ln k)^p} [/mm] $ divergiert.
Sei $\ k > e $ dann ist $\ [mm] \ln [/mm] k > 1 $ und $\ [mm] \sum \frac{1}{(\ln k)^p} [/mm] $ konvergiert (geom. Reihe).
Laut Lösung divergiert die Reihe jedoch und es wird für $\ k $ nicht unterschieden.
Zur 2.)
Wie geh ich hier vor? Habe leider keinen Ansatz. Ein Tipp wäre toll.
Zur 3.)
Hier hab' ich das Quotientenkriterium zur Hand genommen:
$\ [mm] \sum a_n [/mm] $ mit $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{n^n}$ [/mm] und $\ [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
[/mm]
$\ | [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | = | [mm] \frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} [/mm] | = | [mm] \frac{n^n}{(n+1)^n} [/mm] | = [mm] |\left(\frac{n}{n+1}\right)^n| \le [/mm] 1 $ für alle $\ n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Hier weiß ich nun allerdings nicht, ob ich daraus folgern darf, dass die Reihe konvergent ist, oder ob ich den Grenzwert für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ betrachten soll. Dann wäre allerdings $\ [mm] \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ und die Reihe wäre divergent, was nach Lösung falsch ist.
Würde mich über Hilfe freuen.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 16.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Es gilt:
[mm] $$\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}$$
[/mm]
Wie lautet also der Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
Es ist $\ [mm] \lim(1+\frac{1}{n})^n [/mm] = e $
$\ [mm] \gdw \lim(1+\frac{1}{n})^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm] $
Dann ist $\ [mm] \frac{1}{e} [/mm] = [mm] \theta [/mm] < 1 $ und somit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.
Vielen Dank für Deinen Denkanstoß! Hat mir sehr geholfen.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 16.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Denke an das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz.
Ist [mm] $a^{\ln(k)}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
danke für Deine schnelle Hilfe.
Ich bin mir nicht so sicher, ob ich für $\ k $ jeweils verschiedene Werte betrachten soll. Laut Lösung wird nur für $\ a $ unterschieden.
Jedenfalls ist $\ [mm] \ln [/mm] k $ nur für positive $\ k $ definiert und somit ist $\ [mm] \ln [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0 $ für alle $\ k $.
Falls $\ a = e $ gilt $\ [mm] e^{\ln k} [/mm] = k $ und das ist keine Nullfolge.
Ich weiß nicht, wie ich hier $\ [mm] a^{\ln k}$ [/mm] zu einer Nullfolge machen kann, falls das ueberhaupt geht.
Freue mich über jede weitere Hilfe.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar,
>
> danke für Deine schnelle Hilfe.
>
> Ich bin mir nicht so sicher, ob ich für [mm]\ k[/mm] jeweils
> verschiedene Werte betrachten soll.
Hallo,
k ist der Laufindex, der von Summand zu Summand um 1 größer wird und tapfer bis unendlich geht....
Gruß Abakus
> Laut Lösung wird nur
> für [mm]\ a[/mm] unterschieden.
>
> Jedenfalls ist [mm]\ \ln k[/mm] nur für positive [mm]\ k[/mm] definiert und
> somit ist [mm]\ \ln k \ge 0[/mm] für alle [mm]\ k [/mm].
>
> Falls [mm]\ a = e[/mm] gilt [mm]\ e^{\ln k} = k[/mm] und das ist keine
> Nullfolge.
>
> Ich weiß nicht, wie ich hier [mm]\ a^{\ln k}[/mm] zu einer
> Nullfolge machen kann, falls das ueberhaupt geht.
>
> Freue mich über jede weitere Hilfe.
> Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo abakus,
> > Hallo Loddar,
> >
> > danke für Deine schnelle Hilfe.
> >
> > Ich bin mir nicht so sicher, ob ich für [mm]\ k[/mm] jeweils
> > verschiedene Werte betrachten soll.
> Hallo,
> k ist der Laufindex, der von Summand zu Summand um 1
> größer wird und tapfer bis unendlich geht....
> Gruß Abakus
Achso, klar  Danke für Deinen Hinweis.
Es heißt $\ 0 [mm] \le [/mm] a < \ 1/e $ ist die Reihe konvergent, doch ich komm nicht dahinter, warum.
Irgendwie fällt es mir schwer, die Reihe in den Griff zu kriegen.
Wieso ist denn die Reihe für solche Werte gerade konvergent und für andere nicht?
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $a^{ln(k)}= k^{ln(a)}= \bruch{1}{k^{-ln(a)}}= \bruch{1}{k^s}$, [/mm] wobei $s = -ln(a)$
Nun gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s}$ [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] $s>1$ [mm] \gdw [/mm] $-ln(a) >1$ [mm] \gdw [/mm] $a<1/e$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Di 16.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
EDIT: Mal wieder Mist gebaut, Fred hat recht.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> [mm]a^{ln(k)}[/mm] ist einfach keine Nullfolge, daher konvergiert
> die reihe nicht.
>
> [mm]a^{ln(k)}=(e^{ln(a)})^{ln(k)}[/mm] Das wird geht niemals gegen
> null, vollkommen egal, was a oder k ist.
Um das etwas deutlicher zu machen:
[mm]a^{ln(k)}=(e^{ln(a)})^{ln(k)}=(e^{ln(k)})^{ln(a)}=k^{ln(a)}[/mm]
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
vielen Dank Euch beiden für die Hinweise.
Jetzt isses klar.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:32 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> [mm]a^{ln(k)}[/mm] ist einfach keine Nullfolge, daher konvergiert
> die reihe nicht.
>
> [mm]a^{ln(k)}=(e^{ln(a)})^{ln(k)}[/mm] Das wird geht niemals gegen
> null, vollkommen egal, was a oder k ist.
Da irrst Du ! Sieh mal hier: https://matheraum.de/read?i=665183
FRED
>
> Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
> Laut Lösung divergiert die Reihe jedoch und es wird für [mm]\ k[/mm]
> nicht unterschieden.
Bedenke, dass $k_$ der Summationsindex ist:
[mm] $$\sum^{\infty}_{\red{k}=2}\frac{1}{\left[ \ \ln(k) \ \right]^p}$$
[/mm]
Von daher macht - wenn überhaupt - nur eine Unterscheidung für $p_$ Sinn.
Gruß
Loddar
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