Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:47 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
1. [mm] $\sum_{n\ge 1} \frac{n!}{n^{n}}$
[/mm]
2. [mm] $\sum_{n\in \IN} n^{4} [/mm] / [mm] 3^{n}$ [/mm]
3.$ [mm] \sum_{n\ge 1} \frac{3^{n}n!}{n^{n}}$
[/mm]
4. [mm] \sum_{n\in \IN} \frac{n+4}{n^{2}-3n+1}$ [/mm] |
Hallo,
1. Mit dem Quotientenkriterium folgt: [mm] $|\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}| [/mm] < 1$ also konvergent.
2. Mit dem Quot. [mm] $|(n+1)^{4} [/mm] / [mm] 3n^{4}|< [/mm] 1$ , also konvergent
3. Qutoientenkriterium liefert : [mm] $\frac{3n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] < 1 $ also divergent
4. mit Quot. bekommt man $| [mm] \frac{n^{3}...}{n^{2}...}| [/mm] < 1 $ also divergent.
Ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw.
> Divergenz:
>
>
> 1. [mm]\sum_{n\ge 1} \frac{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> 2. [mm]\sum_{n\in \IN} n^{4} / 3^{n}[/mm]
>
> 3.[mm] \sum_{n\ge 1} \frac{3^{n}n!}{n^{n}}[/mm]
>
> 4. [mm]\sum_{n\in \IN} \frac{n+4}{n^{2}-3n+1}$[/mm]
> Hallo,
>
>
> 1. Mit dem Quotientenkriterium folgt:
> [mm]|\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}| < 1[/mm] also konvergent.
>
> 2. Mit dem Quot. [mm]|(n+1)^{4} / 3n^{4}|< 1[/mm] , also konvergent
>
> 3. Qutoientenkriterium liefert : [mm]\frac{3n^{n}}{(n+1)^{n}} < 1[/mm]
> also divergent
>
> 4. mit Quot. bekommt man [mm]| \frac{n^{3}...}{n^{2}...}| < 1[/mm]
> also divergent.
>
>
> Ist das so richtig?
Du hast das Quotientenkriterium nicht verstanden.
Du musst eine konkrete Zahl q<1 angeben können, sodass
Quotient [mm] \le [/mm] q<1 gilt.
Nach deiner Argumentation wäre auch die harmonische Reihe
[mm]\sum_{n\in \IN} \frac{1}{n}$[/mm] konvergent, denn
|n/(n+1)| ist kleiner als 1.
Es ist aber bekannt, dass sie divergiert.
Gruß Abakus
>
>
> Danke für jegliche Hilfestellung.
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo abakus,
> falsch
Wenn ich das q über den Grenzwert erhalte, dann ist es richtig odeR?
1. [mm] $|\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}| \le \frac{1}{2} [/mm] < 1 $
2. [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} |(n+1)^{4} [/mm] / [mm] 3n^{4}| \rightarrow \frac{1}{3} [/mm] < 1 $
3. [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} |\frac{3n^{n}}{(n+1)^{n}}| \rightarrow [/mm] 3 $
also divergent
4. [mm] $\lim _{n\rightarrow \infty} [/mm] | [mm] \frac{n^{3}...}{n^{2}...}| \rightarrow \infty [/mm] > 1 $ also divergent
So besseR?
> GruB abakus
Danke!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> 1; 3 : [mm] \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm]
[mm] $\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}} [/mm] $ und mit [mm] $\lim [/mm] _{n [mm] \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} \rightarrow [/mm] e $ ...
> Die Reihe ist divergent, aber mit dem QK kann man das nicht so gut zeigen
[mm] $|\frac{n+4}{n^{2}-3n+1}| [/mm] > [mm] \frac{n+\frac{3}{2}}{(n+\frac{3}{2})^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+\frac{3}{2}} [/mm] $
und die harmonische Reihe ist eine Majorante für [mm] $\sum \frac{1}{n+\frac{3}{2}}$ [/mm] oder Integraltestsatz.
So ok?
> LG
Danke sehr!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo kamaleonti,
>
>
> > 1; 3 : [mm]\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}[/mm]
>
>
>
>
> [mm]\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}[/mm]
> und mit [mm]\lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} \rightarrow e[/mm]
> ...
>
>
>
> > Die Reihe ist divergent, aber mit dem QK kann man das nicht
> so gut zeigen
>
>
>
> [mm]|\frac{n+4}{n^{2}-3n+1}| > \frac{n-\frac{3}{2}}{(n-\frac{3}{2})^{2}} = \frac{1}{n+\frac{3}{2}}[/mm]
>
> und die harmonische Reihe ist eine Majorante für [mm]\sum \frac{1}{n+\frac{3}{2}}[/mm]
> oder Integraltestsatz.
>
>
>
> So ok?
Ja.
Ich hätte noch eine andere Variante, ich würde hier den Zähler beibehalten und den Nenner auf [mm] n^2+4n [/mm] vergrößern (für [mm] n\ge [/mm] 1 ist [mm] n^2-3n+1 [/mm] immer kleiner als [mm] n^2+4n).
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> > LG
>
> Danke sehr!
>
>
> Gruss
> kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo abakus,
> nicht ganz
> Meine Abschätzung
Ok!!!
> GruB abakus
Danke!!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
>
> > nicht ganz
>
> > Meine Abschätzung
>
> Ok!!!
Hallo,
ich habe meine Antwort verbessert. Deine Abschätzung ist OK (Zähler verkleinern, Nenner Vergrößern).
Gruß Abakus
>
>
> > GruB abakus
> Danke!!
>
> Gruss
> kushkush
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