Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 So 09.12.2012 | | Autor: | Dome1994 |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{1+2+...+k} [/mm] ; [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}} [/mm] ; [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1-\wurzel[k]{k})^k [/mm] ; [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
Wir haben auf einem Übungsblatt obenstehende Aufgabe gestellt bekommen und nun hab ich damit so meine Probleme.
Bei der ersten Funktion hab ich keine Ahnung wie ich ansetzen muss.
Bei der 2. bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}}=\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{2k+3}}
[/mm]
Dann hab ich das Quotientenkriterium angewendet, also:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{2(k+1)+3}}*\bruch{\wurzel{2k+3}}{(-1)^{k}})=\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{2k+5}}*\bruch{\wurzel{2k+3}}{(-1)^{k}})=\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{(-1)^{k}*(-1)^{1}}{\wurzel{2k+5}}*\bruch{\wurzel{2k+3}}{(-1)^{k}})
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1+(-1)}{\wurzel{2k+5}}*\bruch{\wurzel{2k+3}}{1})=\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{0}{\wurzel{2k+5}}*\wurzel{2k+3})=\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel{2k+3})=\infty
[/mm]
Selbst mir als Mathe-Null fällt auf, dass da irgendwas net stimmt, nur was?
Zur dritten Aufgabe hab ich mir folgendes Überlegt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1-\wurzel[k]{k})^k
[/mm]
[mm] \to [/mm] Wurzelkriterium
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{a_{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{(1-\wurzel[k]{k})^k}=\limes_{k\rightarrow\infty}(1-\wurzel[k]{k})^k=1-k^{\bruch{1}{k}}=1-k^0=1-1=0<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1-\wurzel[k]{k})^k [/mm] absolut.
Kann man das so rechnen? Wenn nein, wie dann??
Und zu guter Letzt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2k!}{k!*(2k-k)!}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2k!}{k!*k!}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2k!}{k^2 !}
[/mm]
[mm] \to [/mm] Quotientenkriterium
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2(k+1)!}{(k+1)^2 !}*\bruch{k^2 !}{2k!}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2(k+1)!}{k^2 !+2k!+1}*\bruch{k^2 !}{2k!}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2(k+1)!}{2k!+1}*\bruch{1}{2k!}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2k!+2!}{2k!+1}*\bruch{1}{2k!}=2!=2
[/mm]
Ich bin mir bei den Rechnungen überhaupt nicht sicher und glaub ich hab kompletten Müll zusammengeschrieben! Bitte überzeugt mich vom Gegenteil oder helft mir den Müll zu beseitigen! ;)
Schon mal 1000 Dank für jede Hilfe!
LG Dome
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Hallo,
Ich bin zwar auch noch frisch dabei, versuche dir aber trotzdem zu helfen.
> Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{1+2+...+k}[/mm] ;
Hier hilft das Ausklammern von k im Nenner. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist dass [mm] \bruch{k}{1+2+...+k} [/mm] eine Nullfolge ist. Ist das hier der Fall?
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}}[/mm] ;
Hier kannst du wie du es auch schon versucht hast das Quotientenkriterium anwenden. Allerdings überprüft man hierzu:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|. [/mm] Also das ganze mit Betrag wodurch du [mm] -1^k [/mm] wegstreichen kannst. Dann versuche Die zwei Wurzeln zusammenzufassen und schau dir den Limes an.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(1-\wurzel[k]{k})^k[/mm] ;
Das hast du meiner Ansicht nach richtig gemacht.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k \\ k}[/mm]
Hier wäre es glaube ich gut, wenn du dir die Definition von Fakultäten, nocheinmal vornimmst. Z.B ist es nicht sinnvoll dort die Binomische Formel anzuwenden und du hast teilweise Klammern nicht gesetzt (2k)!. Das bringt dich später durcheinander. Ansonsten war Quotientenkrit. denke ich der richtige Ansatz. Das Kürzen bringt dich bei Fakultäten auf jeden Fall weiter.
Gruß Trollgut
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 09.12.2012 | | Autor: | Dome1994 |
Hi,
zuerst mal danke für die Antwort :)
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{1+2+...+k}[/mm] ;
>
> Hier hilft das Ausklammern von k im Nenner.
Kannst du mir bitte bitte zeigen wie du das meinst? Ich steig grad nich durch.
> > [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}}[/mm] ;
>
> Hier kannst du wie du es auch schon versucht hast das
> Quotientenkriterium anwenden. Allerdings überprüft man
> hierzu:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|.[/mm] Also
> das ganze mit Betrag wodurch du [mm]-1^k[/mm] wegstreichen kannst.
> Dann versuche Die zwei Wurzeln zusammenzufassen und schau
> dir den Limes an.
Also kann ich einfach schreiben:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2(k+1)+3}}*\wurzel{2k+3} [/mm] ?
Gruß Dome
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Hallo
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> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{1+2+...+k}[/mm] ;
> >
> > Hier hilft das Ausklammern von k im Nenner.
>
> Kannst du mir bitte bitte zeigen wie du das meinst? Ich
> steig grad nich durch.
[mm] \bruch{k}{1+2+...+k} [/mm] = [mm] \bruch{k}{k*(\bruch{1}{k}+\bruch{2}{k}+...+\bruch{k}{k})}
[/mm]
Damit Kannst du k kürzen wobei dann der Nenner gegen 1 geht und der Zähler ebenso. Also ist [mm] \lim \bruch{k}{1+2+...+k}=1. [/mm] Also unter anderem keine Nullfolge und es folgt, dass die Reihe divergiert (wenn eine Reihe konvergiert, dann muss [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge sein.)
>
> > > [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}}[/mm] ;
> >
> > Hier kannst du wie du es auch schon versucht hast das
> > Quotientenkriterium anwenden. Allerdings überprüft man
> > hierzu:
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|.[/mm]
> Also
> > das ganze mit Betrag wodurch du [mm]-1^k[/mm] wegstreichen kannst.
> > Dann versuche Die zwei Wurzeln zusammenzufassen und schau
> > dir den Limes an.
>
> Also kann ich einfach schreiben:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2(k+1)+3}}*\wurzel{2k+3}[/mm] ?
Wenn du das ganze in Betrag setzt, dann ja. Und dann kannst du die beiden Wurzeln zusammenfassen und wieder k ausklammern um den Grenzwert zu sehen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 09.12.2012 | | Autor: | Dome1994 |
> > > > [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{1}{\wurzel{2k+3}}[/mm] ;
> > >
> > > Hier kannst du wie du es auch schon versucht hast das
> > > Quotientenkriterium anwenden. Allerdings überprüft man
> > > hierzu:
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|.[/mm]
> > Also
> > > das ganze mit Betrag wodurch du [mm]-1^k[/mm] wegstreichen kannst.
> > > Dann versuche Die zwei Wurzeln zusammenzufassen und schau
> > > dir den Limes an.
> >
> > Also kann ich einfach schreiben:
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2(k+1)+3}}*\wurzel{2k+3}[/mm] ?
>
> Wenn du das ganze in Betrag setzt, dann ja. Und dann kannst
> du die beiden Wurzeln zusammenfassen und wieder k
> ausklammern um den Grenzwert zu sehen.
>
> Gruß
>
Hi
Also hätte ich dann einfach:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{2k+3}}{\wurzel{2k+5}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(2k+3)^\bruch{1}{2}}{(2k+5)^\bruch{1}{2}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k(2+\bruch{3}{k})^\bruch{1}{2}}{k(2+\bruch{5}{k})^\bruch{1}{2}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{2+\bruch{3}{k}}}{\wurzel{2+\bruch{5}{k}}}=1 [/mm] ?
Also keine Entscheidung über Konvergenz/Divergenz?
Gruß Dome
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Hallo,
stimmt, dann war das Quotientenkriterium wohl doch keine gute Wahl. Das tut mir Leid.
Dafür kann man das Leibniz-Kriterium anwenden, denn [mm] \bruch{1}{\wurzel{2k+3}} [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge.
Gruß Trollgut
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