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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{2^n+1} [/mm] in Abhängigkeit von x e R |
Hallo,
soo, das ist ja eine Potenzreihe, das heißt ich muss den Konvergenzradius bestimmen und das mache ich ja wie folgt.
[mm] \left| \bruch{a_n}{a_n_+_1} \right|
[/mm]
dann hätte ich [mm] \bruch{1}{2^n+1} [/mm] * [mm] \bruch{2^n^+^1+1}{1} [/mm] richtig?
jetzt weiß ich nicht wie ich kürzen soll [mm] 2^n^+^1= 2^n [/mm] * 2
wenn ich jetzt, [mm] \bruch{2^n^+^1+1}{2^n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(2^n*2)+1}{2^n+1} [/mm] nun kann ich ja aber [mm] 2^n [/mm] mit dem nenner [mm] 2^n [/mm] nicht kürzen, da unten eine Summe ist. Kann mir einer Sagen, wo mein Denkfehler ist? und mir weiter helfen.
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Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{2^n+1}[/mm] in Abhängigkeit
> von x e R
> Hallo,
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> soo, das ist ja eine Potenzreihe, das heißt ich muss den
> Konvergenzradius bestimmen und das mache ich ja wie
> folgt.
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> [mm]\left| \bruch{a_n}{a_n_+_1} \right|[/mm]
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> dann hätte ich [mm]\bruch{1}{2^n+1}[/mm] * [mm]\bruch{2^n^+^1+1}{1}[/mm]
> richtig?
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> jetzt weiß ich nicht wie ich kürzen soll [mm]2^n^+^1= 2^n[/mm] *
> 2
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> wenn ich jetzt, [mm]\bruch{2^n^+^1+1}{2^n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2^n*2)+1}{2^n+1}[/mm] nun kann ich ja aber [mm]2^n[/mm] mit dem
> nenner [mm]2^n[/mm] nicht kürzen, da unten eine Summe ist. Kann mir
> einer Sagen, wo mein Denkfehler ist? und mir weiter
> helfen.
Es ist egal, wie du die Zweierpotenz schreibst. Es ist ja
[mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
von daher steht hier das Kürzen nicht im Vordergrund. Das klappt ja manchmal bei Grenzwertbetrachtungen, aber so wichtig ist es nun auch nicht. Es würde sich anbieten, im Zähler und im Nenner [mm] 2^n [/mm] auszuklammern um dann zu kürzen. Dann siehst du leicht den offenichtlichen Grenzwert und damit den Konvergenzradius r=2
Gruß, Diophant
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ok, also
[mm] \bruch{2^n(2+\bruch{^1}{2^n})}{2^n(1+\bruch{1}{2^n)}} [/mm] dann würde r=2 sein, richtig? und wie mache ich das nun jetzt in Abhängigkeit von x E R?
wäre das richtig?
[mm] \left|x \right| [/mm] > 2 divergiert die Reihe
[mm] \left|x \right| [/mm] < 2 konvergiert die Reihe
und = 2? oder ist das alles falsch?
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Hallo,
> ok, also
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> [mm]\bruch{2^n(2+\bruch{^1}{2^n})}{2^n(1+\bruch{1}{2^n)}}[/mm] dann
> würde r=2 sein, richtig? und wie mache ich das nun jetzt
> in Abhängigkeit von x E R?
>
> wäre das richtig?
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> [mm]\left|x \right|[/mm] > 2 divergiert die Reihe
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> [mm]\left|x \right|[/mm] < 2 konvergiert die Reihe
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> und = 2? oder ist das alles falsch?
Im Gegenteil: bis hierher ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
An den Rändern des Konvergenzbereichs, also für x=2 und x=-2, muss man nun die entstehenden Reihen nochmals getrennt auf Konvergenz untersuchen.
Gruß, Diophant
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Okay, aber wie berechne ich die Konvergenz denn nochmal getrennt bei x= 2 und x=-2? einfach oben bei [mm] x^n [/mm] 2 bzw -2 einsetzen?
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Hallo,
> Okay, aber wie berechne ich die Konvergenz denn nochmal
> getrennt bei x= 2 und x=-2? einfach oben bei [mm]x^n[/mm] 2 bzw -2
> einsetzen?
Nicht für [mm] x^n, [/mm] sondern nfür x die jeweiligen Werte einsetzen!
Dann erstmal genau hinsehen, bei Reihen sollte man nicht blindlings mit irgendwelchen Kriterien um sich schießen. Was passiert wohl für x=2? Richtig, das kann dur Divergenz bedeuten. Also muss eine divergente Minorante her (die sehr leicht zu finden ist).
x=-2 lasse ich jetzt dir übrig. Aber Vorsicht: da lauert ein verführerischer Fehler. 
Gruß, Diophant
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