Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
es geht um folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
[/mm]
konvergiert die Reihe?
mein Ansatz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2 -1}
[/mm]
was ich weiß
- die Folge [mm] \frac{1}{4n^2 - 1} [/mm] ist eine Nullfolge
- die Reihe kann man wegen [mm] \alpha \ge [/mm] 1 nicht mit der harmonischen Reihe vergleichen
ich würde hier das Quotientenkriterium nutzen und erhalte mittels | [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{4n^2 + 8n }}{\frac{1}{4n^2 -1}} [/mm] = [mm] \frac{4n^2 -1}{4n^2 +8n} [/mm] und für lim [mm] n->\infty [/mm] ist der Term ja < 1 also folgt die Konvergenz der Reihe
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Do 12.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> es geht um folgende Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm]
> konvergiert die Reihe?
> mein Ansatz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2 -1}[/mm]
> was ich weiß
> - die Folge [mm]\frac{1}{4n^2 - 1}[/mm] ist eine Nullfolge
> - die Reihe kann man wegen [mm]\alpha \ge[/mm] 1 nicht mit der
> harmonischen Reihe vergleichen
>
> ich würde hier das Quotientenkriterium nutzen und erhalte
> mittels | [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] = [mm]\frac{\frac{1}{4n^2 + 8n }}{\frac{1}{4n^2 -1}}[/mm]
> = [mm]\frac{4n^2 -1}{4n^2 +8n}[/mm] und für lim [mm]n->\infty[/mm] ist der
> Term ja < 1 also folgt die Konvergenz der Reihe
> stimmt das?
Nein, denn der Grenzwert ist nicht kleiner 1. Klammere [mm] n^2 [/mm] im Zähler und im Nenner aus, dann sieht du es.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay dann erhalte ich:
[mm] \fac{4- 1/n^2 }{ 4 -8/n} [/mm]
du hast Recht
Begründung:
wegen 4- [mm] 1/n^2 \ge [/mm] 4-8/n
[mm] \gdw 1/n^2 \le [/mm] 8/n
[mm] \gdw [/mm] 1/n [mm] \le [/mm] 8
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 8n
und wegen n [mm] \ge [/mm] 1 ist dies für alle n [mm] \in \IN [/mm] erfüllt
also gilt auch : | [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \ge [/mm] 1 also divergiert die Reihe
kann man das so aufschreiben?
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Hallo,
> okay dann erhalte ich:
> [mm]\fac{4- 1/n^2 }{ 4 -8/n}[/mm]
> du hast Recht
> Begründung:
> wegen 4- [mm]1/n^2 \ge[/mm] 4-8/n
> [mm]\gdw 1/n^2 \le[/mm] 8/n
> [mm]\gdw[/mm] 1/n [mm]\le[/mm] 8
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 8n
> und wegen n [mm]\ge[/mm] 1 ist dies für alle n [mm]\in \IN[/mm] erfüllt
> also gilt auch : | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\ge[/mm] 1 also divergiert
> die Reihe
> kann man das so aufschreiben?
Nein, die Reihe ist hochgradig konvergent!
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> es geht um folgende Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm]
> konvergiert die Reihe?
> mein Ansatz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2 -1}[/mm]
> was ich weiß
> - die Folge [mm]\frac{1}{4n^2 - 1}[/mm] ist eine Nullfolge
> - die Reihe kann man wegen [mm]\alpha \ge[/mm] 1 nicht mit der
> harmonischen Reihe vergleichen
>
> ich würde hier das Quotientenkriterium nutzen und erhalte
> mittels | [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] = [mm]\frac{\frac{1}{4n^2 + 8n }}{\frac{1}{4n^2 -1}}[/mm]
> = [mm]\frac{4n^2 -1}{4n^2 +8n}[/mm] und für lim [mm]n->\infty[/mm] ist der
> Term ja < 1 also folgt die Konvergenz der Reihe
> stimmt das?
Nein, das QK hilft hier nicht, weil sich im Grenzwert 1 ergibt. Da kannst du bzgl. Konvergenz keine Aussage treffen.
Deine ersten Schritte sind doch gut.
Die Reihe ist also von der "Größenordnung" [mm]\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}[/mm]
und über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs
[mm]\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] weißt du sicher etwas in Abh. von s:
[mm]s\le 1 \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] divergent
[mm]s>1 \ \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] konvergent
Die harmonische Reihe ist also "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Finde hier also eine konvergente Majorante (Majorantenkriterium)
Alternativ kannst du den Reihenwert ziemlich problemlos ausrechnen und damit die Konvergenz nachweisen.
Mache eine Partialbruchzerlegung und nutze:
[mm]\sum\limtis_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k[/mm]
Versuche dich mal dran, ist ne gute Übung 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Nein, das QK hilft hier nicht, weil sich im Grenzwert 1
> ergibt. Da kannst du bzgl. Konvergenz keine Aussage
> treffen.
Woran erkenne ich auf einen Blick, das es hier nicht hilft? Wegen der 1 im Zähler?
> Die Reihe ist also von der "Größenordnung"
> [mm]\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}[/mm]
>
> und über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs
>
> [mm]\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] weißt du sicher etwas in
> Abh. von s:
>
> [mm]s\le 1 \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm]
> divergent
>
> [mm]s>1 \ \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm]
> konvergent
>
aber wieso ausgerechnet 8?
> Die harmonische Reihe ist also "Grenzreihe" zwischen den
> konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
>
> Finde hier also eine konvergente Majorante
> (Majorantenkriterium)
>
okay.
also
[mm] \frac{1}{4n^2 + 8} \le \frac{1}{4n^2} \le \frac{1}{n^2} [/mm] und wir wissen ja, dass die Reihe [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} [/mm] für [mm] S_{n} \le [/mm] als 1 konvergiert
aber wie beweis eich jetzt , das [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \le [/mm] 1?
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Hallo nochmal,
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> > Nein, das QK hilft hier nicht, weil sich im Grenzwert 1
> > ergibt. Da kannst du bzgl. Konvergenz keine Aussage
> > treffen.
>
> Woran erkenne ich auf einen Blick, das es hier nicht hilft?
> Wegen der 1 im Zähler?
>
> > Die Reihe ist also von der "Größenordnung"
> > [mm]\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}[/mm]
> >
> > und über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs
> >
> > [mm]\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] weißt du sicher etwas in
> > Abh. von s:
> >
> > [mm]s\le 1 \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm]
> > divergent
> >
> > [mm]s>1 \ \Rightarrow \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm]
> > konvergent
> >
>
> aber wieso ausgerechnet 8?
> > Die harmonische Reihe ist also "Grenzreihe" zwischen den
> > konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
> >
> > Finde hier also eine konvergente Majorante
> > (Majorantenkriterium)
> >
> okay.
> also
> [mm]\frac{1}{4n^2 + 8} \le \frac{1}{4n^2} \le \frac{1}{n^2}[/mm] und
Wozu dies?
Es geht doch um die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{4n^2-1}$
[/mm]
> wir wissen ja, dass die Reihe [mm]S_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm] für [mm]S_{n} \le[/mm] als 1
> konvergiert
> aber wie beweis eich jetzt , das
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \le[/mm] 1?
Das ist nicht zu zeigen.
Du musst die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{4n^2-1}$ [/mm] gegen eine konvergente Reihe des Typs [mm] $\sum\limtis_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}$ [/mm] (bzw. ein Vielfaches derselben) abschätzen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay also dann zum Majorantenkriterium:
[mm] \frac{1}{4n^2 - 1} \le \frac{1}{n^2 - 1}
[/mm]
kann man das noch weiter abschätzen oder kann ich jetzt schon schlussfolgern, das s=2 > 1 also die Konvergenz der Reihe schlussfolgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay also dann zum Majorantenkriterium:
> [mm]\frac{1}{4n^2 - 1} \le \frac{1}{n^2 - 1}[/mm]
> kann man das
> noch weiter abschätzen oder kann ich jetzt schon
> schlussfolgern, das s=2 > 1 also die Konvergenz der Reihe
> schlussfolgern?
>
[mm] \frac{1}{n^2 - 1} \le \frac{2}{n^2 } [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke.
ist dann der Beweis vollendet wenn ich formuliere
wegen [mm] \frac{2}{n^2} [/mm] und [mm] n^2 [/mm] = [mm] n^{s} [/mm] mit s=2 > 1 konvergiert die Reihe
reicht das ?
und Fred sagt dies gilt für [mm] n\ge [/mm] 2 .. aber die untere Grenze meiner Reihe ist doch 1 ?! wie soll ich dies verstehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alex,
> okay danke.
> ist dann der Beweis vollendet wenn ich formuliere
> wegen [mm]\frac{2}{n^2}[/mm] und [mm]n^2[/mm] = [mm]n^{s}[/mm] mit s=2 > 1
> konvergiert die Reihe
> reicht das ?
das soll jemand beantworten, der gerade im Thema drin ist. Weil Du das
aber auch bei meiner Antwort unten brauchst:
> und Fred sagt dies gilt für [mm]n\ge[/mm] 2 .. aber die untere
> Grenze meiner Reihe ist doch 1 ?! wie soll ich dies
> verstehen?
Eine Reihe
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] (hier meist [mm] $n_0 \in \IN_0\;;$ [/mm] jedenfalls fest )
konvergiert genau dann, wenn mit einem [mm] $\IN_0 \ni [/mm] N [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$
[/mm]
konvergiert.
Und das kann man äquivalent umschreiben zu:
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$
[/mm]
konvergiert genau dann, wenn jede (Rest-)Reihe
[mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$
[/mm]
konvergiert (also alle Reihen [mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$ [/mm] mit [mm] $\IN_0 \ni [/mm] N [mm] \ge n_0$ [/mm] konvergieren).
Und auch, wenn das nicht ganz das Gleiche ist, aber im Wesentlichen
steckt sowas auch in der Aussage mit drin, dass das Abändern von
endlich vielen Folgengliedern nichts am Konvergenzverhalten einer
Folge ändert (auch nicht das "Abschneiden" eines endlichen Teilstücks).
Und ja: Ich rede extra von Folgen, denn eine Reihe ist ja erstmal nur die
Folge ihrer Partialsummen (auch, wenn das Symbol [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$
[/mm]
IM FALLE DER KONVERGENZ der Partialsummenfolge auch eine zweite Bedeutung
bekommt...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Do 12.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> ist dann der Beweis vollendet wenn ich formuliere
> wegen [mm]\frac{2}{n^2}[/mm] und [mm]n^2[/mm] = [mm]n^{s}[/mm] mit s=2 > 1 konvergiert die Reihe
> reicht das ?
Wenn Du das alles sauber aufgeschrieben hast mit den Abschätzungen: dann ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ach jetzt habe ichs auch. habe micht nur verlesen.upsss
wegen [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] genauer gesagt wegen [mm] n^{s} [/mm] mit s=2 [mm] \ge [/mm] 1
ist die Reihe konvergent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 12.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> ach jetzt habe ichs auch. habe micht nur verlesen.upsss
> wegen [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] genauer gesagt wegen [mm]n^{s}[/mm] mit s=2 [mm]\ge[/mm]
> 1
> ist die Reihe konvergent
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wegen $s=2>1$ nicht [mm] $s=2\ge1$, [/mm] denn für $s=1$ divergiert sie!
DieAcht
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Hallo,
hier eine weitere Möglichkeit:
Berechne schlicht und ergreifend die Reihe. Das geht ganz fix, wenn man an eine Partialbruchzerlegung denkt und weiterhin auch die Teleskopreihe sieht.
Damit ist die [mm] \sum{a_n}<\infty, [/mm] also konvergent.
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Hi Richie,
das war doch genau mein Alternativtipp in der anderen Antwort ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Do 12.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo schachu,
pardon, das habe ich überlesen. Ich muss gestehen, dass ich deine Antwort nur überfolgen habe, und mir fiel nur auf, dass du die Abschätzung vorgenommen hast. Die letzten abschließenden Worte habe ich dann nicht mehr vernommen..
Meine Lehre: Aufmerksamer lesen.
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> es geht um folgende Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm]
> konvergiert die Reihe?
ja. Benutze
![[]](/images/popup.gif) Heuser, Satz 33.6 (Grenzwertkriterium)
Und weil dieser Satz so schön ist, imitieren wir mal den
Beweis speziell für Deine Aufgabe:
Bekannt ist Dir sicher, dass
[mm] $\sum 1/n^2$
[/mm]
konvergiert (dafür kann ich Dir aber auch gerne zwei
Beweise nachliefern).
Weiter gilt:
[mm] $\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2}=... \to 1/4\,.$
[/mm]
Wir wählen ein $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] 1/4\,,$ [/mm] etwa [mm] $\epsilon=1/8\,.$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2} \in (\,1/4-1/8,\;1/4+1/8\,)$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,,$ [/mm] wobei [mm] $N=N_\epsilon\,.$
[/mm]
Daher gilt insbesondere für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;(1/4+1/8)*\frac{1}{n^2}=\frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}\,.$
[/mm]
Damit folgt
[mm] $\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ $<\,$ $\frac{3}{8}*\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{n^2}\,.$
[/mm]
Wie geht's wohl zu Ende?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo,
>
> > es geht um folgende Reihe:
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm]
> > konvergiert die Reihe?
>
> ja. Benutze
>
> Heuser, Satz 33.6 (Grenzwertkriterium)
>
> Und weil dieser Satz so schön ist, imitieren wir mal den
> Beweis speziell für Deine Aufgabe:
> Bekannt ist Dir sicher, dass
>
> [mm]\sum 1/n^2[/mm]
>
> konvergiert (dafür kann ich Dir aber auch gerne zwei
> Beweise nachliefern).
ja das weiß ich, das [mm] \frac{1}{n^{s}} [/mm] für s>1 konvergiert
>
> Weiter gilt:
>
> [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2}=... \to 1/4\,.[/mm]
wie kommst du denn darauf? wieso setzt du die Folge in den Zähler ein? einfach nur um besser abzuschätzen?
und wieso 1/4?
>
> Wir wählen ein [mm]0 < \epsilon < 1/4\,,[/mm] etwa [mm]\epsilon=1/8\,.[/mm]
>
> Dann folgt
>
> [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2} \in (\,1/4-1/8,\;1/4+1/8\,)[/mm]
>
> für alle [mm]n \ge N\,,[/mm] wobei [mm]N=N_\epsilon\,.[/mm]
>
> Daher gilt insbesondere für alle [mm]n \ge N[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;(1/4+1/8)*\frac{1}{n^2}=\frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}\,.[/mm]
>
> Damit folgt
>
> [mm]\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] [mm]<\,[/mm]
> [mm]\frac{3}{8}*\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{n^2}\,.[/mm]
>
> Wie geht's wohl zu Ende?
na da die Majorante konvergiert, konvergiert ja der gesamte Term richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > es geht um folgende Reihe:
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm]
> > > konvergiert die Reihe?
> >
> > ja. Benutze
> >
> >
> Heuser, Satz 33.6 (Grenzwertkriterium)
>
> >
> > Und weil dieser Satz so schön ist, imitieren wir mal den
> > Beweis speziell für Deine Aufgabe:
> > Bekannt ist Dir sicher, dass
> >
> > [mm]\sum 1/n^2[/mm]
> >
> > konvergiert (dafür kann ich Dir aber auch gerne zwei
> > Beweise nachliefern).
>
> ja das weiß ich, das [mm]\frac{1}{n^{s}}[/mm] für s>1 konvergiert
> >
> > Weiter gilt:
> >
> > [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2}=... \to 1/4\,.[/mm]
>
> wie kommst du denn darauf? wieso setzt du die Folge in den
> Zähler ein? einfach nur um besser abzuschätzen?
das ist der Trick, den Du mit dem Satz von Heuser, sobald Du den Beweis
verstanden und verinnerlicht hast, sofort immer praktisch benutzen kannst.
Du hast zwei Reihen
[mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n\,.$
[/mm]
Sofern man etwa fast alle [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] und fast alle [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] hat und wenn der
Grenzwert
[mm] $\lim (a_n/b_n)$
[/mm]
existiert UND wenn dieser [mm] $\not=0$ [/mm] ist, dann haben die Reihen gleiches
Konvergenz-VERHALTEN!
> und wieso 1/4?
Wir haben hier
[mm] $\sum a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
[/mm]
und wir haben die "Hoffnung" (die Hoffnung kann man haben, wenn man
sich ein wenig mit Konvergenz von Folgen auskennt), dass wir diese Reihe
i.W. mit
[mm] $\sum b_n$ [/mm] mit [mm] $b_n=1/n^2$
[/mm]
vergleichen können. (Man könnte auch [mm] $b_n=\frac{1}{n(n+1)}$ [/mm] - für $n [mm] \ge [/mm] 1$ jedenfalls, hernehmen...).
Und dann gilt
[mm] $a_n/b_n=\text{Einsetzen, oder siehe andere Antwort}=\frac{n^2}{4n^2-1}.$
[/mm]
Wie erkennt man jetzt wohl
[mm] $a_n/b_n \to [/mm] 1/4$?
> > Wir wählen ein [mm]0 < \epsilon < 1/4\,,[/mm] etwa [mm]\epsilon=1/8\,.[/mm]
> >
> > Dann folgt
> >
> > [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2} \in (\,1/4-1/8,\;1/4+1/8\,)[/mm]
>
> >
> > für alle [mm]n \ge N\,,[/mm] wobei [mm]N=N_\epsilon\,.[/mm]
> >
> > Daher gilt insbesondere für alle [mm]n \ge N[/mm]
> >
> >
> [mm]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;(1/4+1/8)*\frac{1}{n^2}=\frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}\,.[/mm]
> >
> > Damit folgt
> >
> > [mm]\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] [mm]<\,[/mm]
> > [mm]\frac{3}{8}*\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{n^2}\,.[/mm]
> >
> > Wie geht's wohl zu Ende?
> na da die Majorante konvergiert, konvergiert ja der
> gesamte Term richtig?
Ja, nur wir haben links ja gar nicht
[mm] $\sum_{n=\red{1}}^\infty \frac{1}{(2n-1)*(2n+1)}$
[/mm]
stehen. Das Argument ist zwar wichtig, aber da fehlt noch was (kleines):
Der Tipp/Trick ist sowas:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^{N-1} a_n+\sum_{n=N}^\infty a_n\,.$
[/mm]
Jetzt vervollständige mal die ganze Argumentation!
P.S. Das Schöne an dem Satz von Heuser ist, dass Du bei gewissen Reihen
fast ohne nachzudenken die Konvergenz/Divergenz erkennen kannst:
[mm] $\sum \frac{2n^{3/2}+3n+4}{1000n^{5/2}+\sqrt{n}}$
[/mm]
divergiert:
[mm] $n^{3/2}/n^{5/2}=1/n\,,$
[/mm]
die Reihe verhält sich also wie [mm] $\sum (1/n)\,,$ [/mm] und letztere divergiert.
Aber ändert man da nur minimal etwas:
[mm] $\sum \frac{2n^{3/2}+3n+4}{1000n^{5/2+\red{10^{-3999}}}+\sqrt{n}}\,,$
[/mm]
so konvergiert diese neue Reihe! Und dafür muss man nicht viel rechnen,
um das mit dem erwähnten Satz zu erkennen!
(Man braucht natürlich das Wissen, dass [mm] $\sum_n \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] jedenfalls
(eigentlich sogar: genau) dann konvergiert, wenn [mm] $\alpha$ $>\,$ $1\,$ [/mm] ist;
oder man beweist das selbst mal etwa mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
erstmal danke für deine Mühe 
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> Wie erkennt man jetzt wohl
>
> [mm]a_n/b_n \to 1/4[/mm]?
naja wenn ich [mm] n^2 [/mm] ausklammer und kürze erhalte ich: [mm] \frac{1}{4-\frac{1}{n^2}} [/mm] und für lim [mm] n->\infty [/mm] erhalte ich 1/4
>
> > > Wir wählen ein [mm]0 < \epsilon < 1/4\,,[/mm] etwa [mm]\epsilon=1/8\,.[/mm]
> > >
> > > Dann folgt
> > >
> > > [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2} \in (\,1/4-1/8,\;1/4+1/8\,)[/mm]
>
> >
> > >
> > > für alle [mm]n \ge N\,,[/mm] wobei [mm]N=N_\epsilon\,.[/mm]
> > >
> > > Daher gilt insbesondere für alle [mm]n \ge N[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;(1/4+1/8)*\frac{1}{n^2}=\frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}\,.[/mm]
> > >
> > > Damit folgt
> > >
> > > [mm]\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] [mm]<\,[/mm]
> > > [mm]\frac{3}{8}*\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{n^2}\,.[/mm]
> >
> >
> > > Wie geht's wohl zu Ende?
> > na da die Majorante konvergiert, konvergiert ja der
> > gesamte Term richtig?
>
> Ja, nur wir haben links ja gar nicht
>
> [mm]\sum_{n=\red{1}}^\infty \frac{1}{(2n-1)*(2n+1)}[/mm]
>
> stehen. Das Argument ist zwar wichtig, aber da fehlt noch
> was (kleines):
> Der Tipp/Trick ist sowas:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^{N-1} a_n+\sum_{n=N}^\infty a_n\,.[/mm]
doll ich hier die Urpsungsfolge einsetzen? Auch wenn es eine doofe Frage ist aber: was nutzt das an dieser Stelle?
PS: Was sagst du zu den Lösungsansätzen der anderen Helfer? stimmen diese nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alex,
> erstmal danke für deine Mühe
>
> >
> > Wie erkennt man jetzt wohl
> >
> > [mm]a_n/b_n \to 1/4[/mm]?
>
> naja wenn ich [mm]n^2[/mm] ausklammer und kürze erhalte ich:
> [mm]\frac{1}{4-\frac{1}{n^2}}[/mm] und für lim [mm]n->\infty[/mm] erhalte
> ich 1/4
> >
> > > > Wir wählen ein [mm]0 < \epsilon < 1/4\,,[/mm] etwa [mm]\epsilon=1/8\,.[/mm]
> > > >
> > > > Dann folgt
> > > >
> > > > [mm]\frac{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}{1/n^2} \in (\,1/4-1/8,\;1/4+1/8\,)[/mm]
>
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> > > >
> > > > für alle [mm]n \ge N\,,[/mm] wobei [mm]N=N_\epsilon\,.[/mm]
> > > >
> > > > Daher gilt insbesondere für alle [mm]n \ge N[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
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> [mm]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;(1/4+1/8)*\frac{1}{n^2}=\frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}\,.[/mm]
> > > >
> > > > Damit folgt
> > > >
> > > > [mm]\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/mm] [mm]<\,[/mm]
> > > > [mm]\frac{3}{8}*\sum_{n \red{\;\ge\;N}} \frac{1}{n^2}\,.[/mm]
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> > >
> > > > Wie geht's wohl zu Ende?
> > > na da die Majorante konvergiert, konvergiert ja der
> > > gesamte Term richtig?
> >
> > Ja, nur wir haben links ja gar nicht
> >
> > [mm]\sum_{n=\red{1}}^\infty \frac{1}{(2n-1)*(2n+1)}[/mm]
> >
> > stehen. Das Argument ist zwar wichtig, aber da fehlt noch
> > was (kleines):
> > Der Tipp/Trick ist sowas:
> >
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^{N-1} a_n+\sum_{n=N}^\infty a_n\,.[/mm]
>
> doll ich hier die Urpsungsfolge einsetzen? Auch wenn es
> eine doofe Frage ist aber: was nutzt das an dieser Stelle?
Ich schreib's jetzt einfach mal hin (man kann sich das mit dem erwähnten
Satz auch ersparen, wenn man schon weiß, wie die Konvergenz einer
Reihe mit "Restgliedern" zusammenhängt):
Es gilt gemäß den Vorüberlegungen
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\;<\;\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{3}{8} \sum_{n=N}^\infty \frac{1}{n^2}\,.$
[/mm]
(Das kann man auch sauberer hinschreiben!)
Jetzt klar(er)?
> PS: Was sagst du zu den Lösungsansätzen der anderen Helfer?
> stimmen diese nicht?
Warum sollten sie nicht stimmen? Ich habe aber natürlich nicht alles im
Detail angeguckt. Ich will Dich aber vor allem dazu bewegen, Dir den
erwähnten Satz vom Heuser anzugucken. Ich weiß nicht, warum, aber
selten wird der wirklich direkt benutzt. Dabei würde es reichen, wenn
man den Satz in der Vorlesung einmal formuliert und beweist, die Leute
werden dann schon nach und nach merken, was das eigentlich doch für
ein relativ mächtiges Instrument ist, dass sich sehr oft schnell anwenden
läßt - mit Übung oft auf einen Blick, wo man mit anderen Mitteln
wenigstens erstmal meist rumrechnen, umformen und evtl. abschätzen
muss.
Gruß,
Marcel
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