Konvergenz von Sum. durch Int. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 05.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | für welche s [mm] \in \IR [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s} [/mm]
? |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich wäre mal so an die Sache herangegangen:
Nachdem [mm] \frac{1}{n(log(n))^s} [/mm] monoton fallend ist, ist die summe konvergent genau dann wenn [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}
[/mm]
konvergiert.
[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}
[/mm]
jetzt müsste man die fälle s>=0 und s<0 separat betrachten und versuchen mit einer Majorante/Minorante Divergenz/Konvergenz nachzuweisen...
Bin ich so auf dem richtigem Weg oder übersehe ich hier einen einfachen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 05.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> für welche s [mm]\in \IR[/mm] konvergiert
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s}[/mm]
> ?
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also ich wäre mal so an die Sache herangegangen:
>
> Nachdem [mm]\frac{1}{n(log(n))^s}[/mm] monoton fallend ist, ist die
> summe konvergent genau dann wenn [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>
> konvergiert.
ja
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>
> jetzt müsste man die fälle s>=0 und s<0 separat
> betrachten und versuchen mit einer Majorante/Minorante
> Divergenz/Konvergenz nachzuweisen...
>
> Bin ich so auf dem richtigem Weg oder übersehe ich hier
> einen einfachen Weg?
>
>
Es geht einfacher:
für [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
substituiere $t=log(x)$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Di 05.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo, ihr beiden!
Ups. Bis eben hätte ich aus dem Stand heraus behauptet, dass [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n*\ln{(n)}} [/mm] konvergent ist.
Wie man sich irren kann.
> für [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>
> substituiere [mm]t=log(x)[/mm]
Wenn man das hier gesehen hat, wirds deutlich...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 05.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke fred!
ok ich probiers mal:
[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx
[/mm]
sei u=log(x)
[mm] \Rigtharrow [/mm] du/dx=1/x [mm] \Rigtharrow [/mm] dx=x*du
also
[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{x}{x * u^s}du [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{u^s}du
[/mm]
=
für s [mm] \not= [/mm] 1 [mm] \frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \vmat{\infty \\ log(2)} [/mm] (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm] \infty) [/mm]
für s = 1 log(u) [mm] \vmat{\infty \\ log(2)} [/mm] (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm] \infty) [/mm]
nun prüfe ich auf konvergenz indem ich u gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse
fall 1: s=1. divergent weil für u [mm] \to \infty
[/mm]
log(u) [mm] \to \infty
[/mm]
fall 2: s<1. divergent weil für u [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \to \infty
[/mm]
fall 3: s>1. konvergent weil für u [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)} [/mm] - [mm] \frac{log(u)^{-s+1}}{(-s+1)} \to [/mm] 0
also konvergiert die summe gegen [mm] \frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)} [/mm] wenn s>1 ??
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Hallo,
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx[/mm]
>
> sei u=log(x)
>
> [mm]\Rigtharrow[/mm] du/dx=1/x [mm]\Rigtharrow[/mm] dx=x*du
>
> also
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx[/mm] =
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{x}{x * u^s}du[/mm] =
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{u^s}du[/mm]
>
> =
Die Grenzen stimmen hier nicht (untere Grenze sollte nach Substitution [mm] $\log(2)$ [/mm] sein), aber unten hast du es ja richtig gemacht.
> für s [mm]\not=[/mm] 1 [mm]\frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \vmat{\infty \\
log(2)}[/mm]
> (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm]\infty)[/mm]
>
> für s = 1 log(u) [mm]\vmat{\infty \\
log(2)}[/mm] (d.h. in den
> grenzen log(2) bis [mm]\infty)[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nun prüfe ich auf konvergenz indem ich u gegen [mm]\infty[/mm]
> gehen lasse
Ja.
> fall 1: s=1. divergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>
> log(u) [mm]\to \infty[/mm]
Ja.
> fall 2: s<1. divergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \to \infty[/mm]
>
Ja.
> fall 3: s>1. konvergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)}[/mm] - [mm]\frac{log(u)^{-s+1}}{(-s+1)} \to[/mm]
> 0
Ja. Alles OK!
> also konvergiert die summe gegen
> [mm]\frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)}[/mm] wenn s>1 ??
Nein. Das Integralkriterium, was du verwendest, erlaubt höchstens eine Abschätzung der Summe, aber keine exakte Berechnung. (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier)
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Weiter Möglichkeit: mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz bekommt man:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s} [/mm] $ konvergiert
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] konvergiert.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 06.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke steppenhahn und fred!
das war sehr aufschlussreich :)
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