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Konvergenz von Sum. durch Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Di 05.03.2013
Autor: elmanuel

Aufgabe
für welche s [mm] \in \IR [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s} [/mm]
?

Hallo liebe Gemeinde!

Also ich wäre mal so an die Sache herangegangen:

Nachdem [mm] \frac{1}{n(log(n))^s} [/mm]  monoton fallend ist, ist die summe konvergent genau dann wenn [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s} [/mm]
konvergiert.

[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s} [/mm]

jetzt müsste man die fälle s>=0 und s<0 separat betrachten und versuchen mit einer Majorante/Minorante Divergenz/Konvergenz nachzuweisen...

Bin ich so auf dem richtigem Weg oder übersehe ich hier einen einfachen Weg?



        
Bezug
Konvergenz von Sum. durch Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 05.03.2013
Autor: fred97


> für welche s [mm]\in \IR[/mm] konvergiert
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s}[/mm]
> ?
>  Hallo liebe Gemeinde!
>  
> Also ich wäre mal so an die Sache herangegangen:
>  
> Nachdem [mm]\frac{1}{n(log(n))^s}[/mm]  monoton fallend ist, ist die
> summe konvergent genau dann wenn [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>  
> konvergiert.

ja


>  
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>  
> jetzt müsste man die fälle s>=0 und s<0 separat
> betrachten und versuchen mit einer Majorante/Minorante
> Divergenz/Konvergenz nachzuweisen...
>  
> Bin ich so auf dem richtigem Weg oder übersehe ich hier
> einen einfachen Weg?
>  
>  

Es geht einfacher:

für  [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]

substituiere $t=log(x)$

FRED


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Sum. durch Int.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Di 05.03.2013
Autor: reverend

Hallo, ihr beiden!

Ups. Bis eben hätte ich aus dem Stand heraus behauptet, dass [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n*\ln{(n)}} [/mm] konvergent ist.

Wie man sich irren kann.

> für  [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}[/mm]
>  
> substituiere [mm]t=log(x)[/mm]

Wenn man das hier gesehen hat, wirds deutlich...

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Sum. durch Int.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 05.03.2013
Autor: elmanuel

danke fred!

ok ich probiers mal:

[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx [/mm]

sei u=log(x)

[mm] \Rigtharrow [/mm] du/dx=1/x [mm] \Rigtharrow [/mm] dx=x*du

also

[mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{x}{x * u^s}du [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\infty} \frac{1}{u^s}du [/mm]

=

für s [mm] \not= [/mm] 1  [mm] \frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \vmat{\infty \\ log(2)} [/mm] (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm] \infty) [/mm]

für s = 1  log(u) [mm] \vmat{\infty \\ log(2)} [/mm] (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm] \infty) [/mm]

nun prüfe ich auf konvergenz indem ich u gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse

fall 1: s=1. divergent weil für u [mm] \to \infty [/mm]

log(u) [mm] \to \infty [/mm]


fall 2: s<1. divergent weil für u [mm] \to \infty [/mm]

[mm] \frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \to \infty [/mm]


fall 3: s>1. konvergent weil für u [mm] \to \infty [/mm]

[mm] \frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)} [/mm] - [mm] \frac{log(u)^{-s+1}}{(-s+1)} \to [/mm] 0

also konvergiert die summe gegen [mm] \frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)} [/mm] wenn s>1 ??

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Sum. durch Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Di 05.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx[/mm]
>  
> sei u=log(x)
>  
> [mm]\Rigtharrow[/mm] du/dx=1/x [mm]\Rigtharrow[/mm] dx=x*du
>  
> also
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^s}dx[/mm] =
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{x}{x * u^s}du[/mm] =
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \frac{1}{u^s}du[/mm]
>  
> =


Die Grenzen stimmen hier nicht (untere Grenze sollte nach Substitution [mm] $\log(2)$ [/mm] sein), aber unten hast du es ja richtig gemacht.


> für s [mm]\not=[/mm] 1  [mm]\frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \vmat{\infty \\ log(2)}[/mm]
> (d.h. in den grenzen log(2) bis [mm]\infty)[/mm]
>
> für s = 1  log(u) [mm]\vmat{\infty \\ log(2)}[/mm] (d.h. in den
> grenzen log(2) bis [mm]\infty)[/mm]


Ja. [ok]


> nun prüfe ich auf konvergenz indem ich u gegen [mm]\infty[/mm]
> gehen lasse

Ja.

> fall 1: s=1. divergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>  
> log(u) [mm]\to \infty[/mm]

Ja.


> fall 2: s<1. divergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>  
> [mm]\frac{u^{-s+1}}{(-s+1)} \to \infty[/mm]
>  

Ja.

> fall 3: s>1. konvergent weil für u [mm]\to \infty[/mm]
>  
> [mm]\frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)}[/mm] - [mm]\frac{log(u)^{-s+1}}{(-s+1)} \to[/mm]
> 0


Ja. Alles OK!

> also konvergiert die summe gegen
> [mm]\frac{log(2)^{-s+1}}{(-s+1)}[/mm] wenn s>1 ??

Nein. Das Integralkriterium, was du verwendest, erlaubt höchstens eine Abschätzung der Summe, aber keine exakte Berechnung. (siehe []hier)


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Sum. durch Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Mi 06.03.2013
Autor: fred97

Weiter Möglichkeit: mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz bekommt man:

$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(log(n))^s} [/mm] $  konvergiert

[mm] \gdw [/mm]


[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] konvergiert.

FRED


Bezug
                
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Konvergenz von Sum. durch Int.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Mi 06.03.2013
Autor: elmanuel

danke steppenhahn und fred!

das war sehr aufschlussreich :)

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