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Konvergenz von e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Sa 08.12.2007
Autor: Smex

Aufgabe
Zeigen Sie:
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm]

(b) Für alle k [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{k}{n})^n [/mm] = [mm] e^k [/mm]

Hi,

kann mir vieleicht jemand einen Ansatz liefern, denn ich verstehe nicht wie man die Ausdrücke großartig vereinfachen soll, um dann die konvergenz zu zeigen.


Vielen Dank

Gruß Smex


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Konvergenz von e: (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Sa 08.12.2007
Autor: Sashman

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Moin Smex!

Betrachte doch einfach:

$\lim_{n\to\infty}(a_{n+1})=\lim_n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(1+\frac{1}{n})}\right)^{n+1}$

mFg Sashman

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von e: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Smex!


Du darfst doch sicher den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$ verwenden?

Dann setze bei Aufgabe b.) mal $m \ := \ [mm] \bruch{n}{k}$ [/mm] und Du erhältst:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{k}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{\bruch{n}{k}}\right)^{k*\bruch{n}{k}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{m}\right)^{k*m} [/mm] \ = \ \ [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\left[\left(1+\bruch{1}{m}\right)^{m}\right]^k$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
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