Konvergenz von reihe nachweise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 14.10.2008 | | Autor: | fleisch |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen auf konvergenz.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+1}{8k^{2}+1} [/mm] |
Hallo,
ich bin folgendermaßen an die sache heran gegangen. Ich habe den Grenzwert von [mm] a_{n}=\bruch{k+1}{8k^{2}+1} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] bestimmt. Dabei kam ich auf 0 und folgerte somit das eine konvergenz der reihe möglich ist.
Also versuchte ich diese mittels Quotientenkriterium nachzuweisen. Leider erhielt ich für q=1 und konnte somit keine Aussage treffen. Nun vermute ich, dass ich nur noch mit hilfe des Minoranten- oder Majorantenkriteriums zum Ziel komme. Und genau da liegt mein Problem: Ich weiß das ich hierbei Die Folge [mm] a_{n} [/mm] mit einer anderen folge nach oben bzw. unten abschätzen muss. Weiß aber nicht wie ich an die Sache heran gehen soll.
Hoffe ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen und vielen Dank schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fleisch und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Untersuchen sie folgende Reihen auf konvergenz.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+1}{8k^{2}+1}[/mm]
> Hallo,
> ich bin folgendermaßen an die sache heran gegangen. Ich
> habe den Grenzwert von [mm] $a_{\red{k}}=\bruch{k+1}{8k^{2}+1}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] bestimmt.
> Dabei kam ich auf 0 und folgerte somit das eine konvergenz der reihe möglich ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also versuchte ich diese mittels Quotientenkriterium
> nachzuweisen. Leider erhielt ich für q=1 und konnte somit
> keine Aussage treffen. Nun vermute ich, dass ich nur noch
> mit hilfe des Minoranten- oder Majorantenkriteriums zum
> Ziel komme.
Ja, das ist eine gute Idee!
> Und genau da liegt mein Problem: Ich weiß das
> ich hierbei Die Folge [mm]a_{n}[/mm] mit einer anderen folge nach
> oben bzw. unten abschätzen muss. Weiß aber nicht wie ich an
> die Sache heran gehen soll.
> Hoffe ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen und
> vielen Dank schon mal im Vorraus.
Wenn du dir mal die "Größenordnung" der [mm] $a_k$ [/mm] anschaust, so ist das ungefähr [mm] $\frac{1}{8k}=\frac{1}{8}\cdot{}\frac{1}{k}$
[/mm]
Das legt nahe, zu versuchen, das Biest gegen eine Variante der harmonischen Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] nach unten abzuschätzen, die ja bekanntermaßen divergent ist.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern ...
Bedenke, dass mit [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] sicher auch [mm] $M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] mit [mm] $M\in\IR, M\neq [/mm] 0$ divergent ist.
Probiere so mal ein bisschen rum, ob du eine divergente Minorante findest ...
Wenn's gar nicht klappt, melde dich nochmal
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 14.10.2008 | | Autor: | fleisch |
Also,
vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Ich habe mir jetzt überlegt das ich meine Folge [mm] a_{k} [/mm] durch die Folge
[mm] b_{k}=\bruch{1}{8k+1} [/mm] nach unten beschränken könnte, da [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le\infty [/mm] gilt. Diese verhält sich gegen [mm] \infty [/mm] in etwa wie [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] Heißt das, dass ich nun die Divergenz folgern kann und nur noch zeigen muss das [mm] b_{k} \le a_{k} [/mm] tatsächlich gilt?
Oder bin ich da auf dem Holzweg?
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Hallo nochmal,
> Also,
> vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
> Ich habe mir jetzt überlegt das ich meine Folge [mm]a_{n}[/mm]
> durch die Folge
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{8k+1}[/mm] nach unten beschränken könnte,
> da [mm]1\le[/mm] k [mm]\le\infty[/mm] gilt. Diese verhält sich gegen [mm]\infty[/mm] in
> etwa wie [mm]\bruch{1}{k}.[/mm] Heißt das, dass ich nun die
> Divergenz folgern kann und nur noch zeigen muss das [mm]b_{n} \le a_{n}[/mm]
> tatsächlich gilt?
> Oder bin ich da auf dem Holzweg?
Nein, der Weg ist gut, schätze aber einfach noch weiter ab, dann kommst du in gar keine Begründungsnot  :
[mm] $\frac{k+1}{8k^2+1}\ge\frac{1}{8k+1}$ [/mm] soweit warst du
[mm] $\ge\frac{1}{8k+k}=\frac{1}{9k}$
[/mm]
Also hast du nun [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k+1}{8k^2+1}\ge\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{9k}=\frac{1}{9}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$
[/mm]
Und das kannst du als divergent voraussetzen, ihr habt mit Sicherheit gezeigt, dass die harmonische Reihe divergent ist
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Di 14.10.2008 | | Autor: | fleisch |
Ahh ok das leuchtet ein,
wenn ich das ganze Schritt für Schritt zeige muss ich mir dann keine Sorgen um die Beweisführung mehr machen ;D
die [mm] \bruch{1}{9k} [/mm] hatte ich nicht in Erwägung gezogen weil ich in Gedanken bei k=0 angefangen hab und dann hätte die ja nicht geklappt.
Nun gut vielen Dank für deine Hilfe, Problem gelöst.
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