Konvergenz zeigen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Cyborg |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] = [0,1] ein Grundraum, P das auf [0,1] eingeschränkte Lebesguemaß, d.h. P([a,b])=b-a für alle a [mm] \le [/mm] b [mm] \in \Omega. [/mm] Die Intervalle [mm] I_n [/mm] = [mm] [a_n, b_n] [/mm] seien rekursiv definiert durch:
[mm] a_1=0
[/mm]
[mm] b_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] b_n
[/mm]
Daraus konstruieren wir die Intervalle [mm] J_n:= I_n [/mm] mod1, womit gemeint ist, dass bei allen Elementen von [mm] I_n [/mm] nur die Nachkommastellen genommen werden und in [mm] J_n [/mm] getan. Also:
[mm] J_n:= [/mm] {x- [mm] \perp x\perp [/mm] |x [mm] \in I_n [/mm] } .
Die Folge von Zufallsvariablen [mm] X_n [/mm] ist definiert als
[mm] X_n [/mm] (w) = [mm] 1_{J_n}(w)
[/mm]
(1=Indikatorfunktion)
a) Zeigen Sie, dass diese Folge in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert
b) Zeigen Sie, dass sie nicht fastsicher konvergiert |
Ich weiß leider gar nicht wie ich anfangen soll...
Kann mir jemand einen Tipp geben? Vielleicht eine Skizze wie das ganze überhaupt aussieht oder so?
|
|
| |
|
Hiho,
vergiss diese "mod" Geschichte mal, die stellt nur sicher, dass du nicht aus [0,1] herausläufst, sondern sobald du bspw. das Intervall [mm] $\left[1,1+\bruch{1}{n}\right]$ [/mm] stattdessen wieder an den Anfang springst und [mm] $\left[0,\bruch{1}{n}\right]$ [/mm] erhälst.
Anschaulich erhälst du also immer kleinere Intervalle, die von 0 nach 1 durch das Intervall [0,1] laufen.
Nun zum Problem: Du hast also Intervalle der Form [mm] $A_n [/mm] = [mm] \left[a_n,a_n +\bruch{1}{n}\right]$.
[/mm]
1.) Was ist nun [mm] P(A_n) [/mm] und wogegen konvergieren folglich die Indikatorfunktionen davon?
2.) Nimm nun ein beliebiges [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ und erinnere dich daran, dass die Intervalle immer durch [0,1] laufen (und damit an jedem x mal vorbeilaufen).
Damit gilt für jedes [mm] X_n(x) [/mm] was?
D.h. für [mm] $\limsup_{n\to\infty} X_n(x)$? [/mm] Und für [mm] $\liminf_{n\to\infty} X_n(x)$
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] $\lim_{n\to\infty} X_n(x)$?
[/mm]
Was kann [mm] X_n [/mm] also nicht sein?
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
