Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Fr 16.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge in [mm] \IC, [/mm] welche gegen eine Zahl [mm] a\in\IC [/mm] konvergiert. Sie ferner [mm] b_n=1/n*\summe_{k=n}^{2n-1}a_n [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Folgenkonvergenz, dass die Folge [mm] (b_n)_n [/mm] ebenfalls gegen a konvergiert. |
Hallo Leute,
hänge etwas bei der Aufgabe, mir fehlt einfach die passende Idee. Die Definition der Folgenkonvergenz lautet ja, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] derart existiert, dass [mm] |z_n-z|<\epsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N.
Mich macht die Summe etwas stutzig, bräuchte etwas Hilfe.
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
Was spricht eigentlich dagegen, diese kurze Aufgabenstellung hier direkt einzutippen und den Helfenden nicht den Umweg über irgendwelche Links auzwingen zu müssen?
Diese Unart greift hier immer mehr um sich ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 16.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, ok, das hatte ich nicht bedacht, ich werde es in Zukunft ändern!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
also bitte nicht in Zukunft, sondern hier und jetzt, dann kriegst du wahrscheinlich auch schnell antwort!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 16.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ist Ausgebessert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Fr 16.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hubbel,
in der Aufgabenstellung soll in der Definition von [mm] b_n [/mm] sicherlich [mm] a_k [/mm] statt [mm] a_n [/mm] stehen.
> Die Definition der Folgenkonvergenz lautet
> ja, dass zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] derart
> existiert, dass [mm]|z_n-z|<\epsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N.
Genau. Erster Schritt: Schreibe dir auf, was es denn für unsere Folgen der [mm] $a_n$ [/mm] und der [mm] $b_n$ [/mm] heißt, gegen a zu konvergieren. Das gilt übrigens für fast jede Aufgabe: Nicht nur Definitionen nachschlagen, sondern sie auch auf die jeweilige Situation anwenden.
Dabei tauchen hier dann die Ausdrücke [mm] |a_n-a| [/mm] und [mm] |b_n-a|=... [/mm] auf. Von ersterem wissen wir grob gesprochen schon, dass er für "n genügend groß" klein wird. Letzterer soll für "n genügend groß" klein werden. Um das zu zeigen, sollte dieser Ausdruck geeignet nach oben abgeschätzt werden. Anzustreben ist dabei, dass Ausdrücke der Form [mm] |a_n-a| [/mm] auftauchen.
Das war jetzt natürlich sehr unpräzise von mir formuliert. Aber möglicherweise hilft das, einen Anfang zu finden. Eine saubere Beweisführung muss dann später dazukommen.
Unterwegs wirst du übrigens noch die Überlegung brauchen, aus wie vielen Summanden die Summe in der Definition von [mm] b_n [/mm] besteht.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Also gut,
ich hätte mal grob zu begonnen:
[mm] |b_n-a|<\epsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}a_k-a|<\epsilon
[/mm]
Das ist natürlich keine Kunst, nur fällt mir überhaupt nicht ein, wie ich das weiter umformen könnte, kann ich irgendwie das a in die Summe ziehen oder geht das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also gut,
>
> ich hätte mal grob zu begonnen:
>
> [mm]|b_n-a|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}a_k-a|<\epsilon[/mm]
>
> Das ist natürlich keine Kunst, nur fällt mir überhaupt
> nicht ein, wie ich das weiter umformen könnte, kann ich
> irgendwie das a in die Summe ziehen oder geht das nicht?
Genau, das ist ein Ziel!
Eine Möglichkeit: Ziehe von jedem Summanden a ab (damit wir auf Summanden der Form [mm] $a_k-a$ [/mm] kommen) und addiere wieder a (um den Fehler wieder gut zu machen):
[mm] |\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}a_k-a|=|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a+a)-a|=|\bruch{1}{n}(\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)+\summe_{k=n}^{2n-1}a)-a|
[/mm]
Und was ist der Wert des auftretenden Terms [mm] \summe_{k=n}^{2n-1}a? [/mm] (Anzahl der Summanden)*a.
Kommst du damit weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich hab bei Summen immer meine Probleme, also wenn ich jetzt mal sagen würde die Summe beginnt bei n=k=1 und endet demnach dann bei 2*1-1=1 , dann hätte ich ja nur a. Wenn sie jetzt bei n=k=2 beginnt, endet sie bei 2*2-1, also 3, wäre also ingesamt 2a und das würde immer so weiter gehen, also a,2a,3a,4a...
Bin die ganze Zeit am überlegen, wie ich das allgemein zusammenfassen kann, aber komme einfach nicht drauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab bei Summen immer meine Probleme, also wenn ich
> jetzt mal sagen würde die Summe beginnt bei n=k=1 und
> endet demnach dann bei 2*1-1=1 , dann hätte ich ja nur a.
> Wenn sie jetzt bei n=k=2 beginnt, endet sie bei 2*2-1, also
> 3, wäre also ingesamt 2a und das würde immer so weiter
> gehen, also a,2a,3a,4a...
>
> Bin die ganze Zeit am überlegen, wie ich das allgemein
> zusammenfassen kann, aber komme einfach nicht drauf.
Genau, für n=1 hat die Summe den Wert a, für n=2 den Wert 2a, für n=3 den Wert 3a. Naheliegende Vermutung: Für beliebiges n hat sie den Wert [mm] $n\cdot [/mm] a$.
Eine Möglichkeit sich zu überlegen, aus wie vielen Summanden diese Summe besteht:
Die Anzahl der Summanden ist die Anzahl der Werte, die k durchläuft, also die Anzahl der natürlichen Zahlen von n bis 2n-1.
Es gibt 2n-1 natürliche Zahlen von 1 bis 2n-1. Wenn die natürlichen Zahlen von 1 bis n-1 wegfallen, bleiben noch (2n-1)-(n-1)=n Zahlen übrig. Also besteht unsere Summe aus genau n Summanden.
Da jeder Summand den Wert a hat, hat die Summe den Wert [mm] $n\cdot [/mm] a$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das ist mir gar nicht aufgefallen, dass es so simpel ist, typisch.
[mm] |\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}a_k-a|=|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a+a)-a|=|\bruch{1}{n}(\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)+\summe_{k=n}^{2n-1}a)-a|=|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)|
[/mm]
So, nun hab ich das a sozusagen in die Summe eingebaut.
Jetzt müsste ich doch irgendwie zeigen, dass dies kleiner ist, als [mm] |a_n-a| [/mm] oder? Da wir ja wissen, dass [mm] |a_n-n|<\epsilon [/mm] gilt. Aber wir haben ja keine Aussage, die eine Relation zwischen den beiden Folgen darstellt, deswegen weiß ich da nicht unbedingt weiter. Bin die ganze Zeit am überlegen, ob ich da auch mit Reihenkonvergenzkriterien rangehen kann bzw. was dieses 1/n bewirkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}a_k-a|=|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a+a)-a|=|\bruch{1}{n}(\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)+\summe_{k=n}^{2n-1}a)-a|=|\bruch{1}{n}\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der erhaltene Ausdruck lässt sich weiter vereinfachen bzw. nach oben abschätzen. Welche Regeln kennst du denn über Beträge von Produkten und Summen?
> Jetzt müsste ich doch irgendwie zeigen, dass dies kleiner
> ist, als [mm]|a_n-a|[/mm] oder?
Wenn uns das gelänge, wären wir in der Tat (bis auf ein sauberes Aufschreiben) fertig. Wird es aber leider nicht.
Aber wir wissen ja (wieder unpräzise gesprochen), nicht nur [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] (wenn n genügend groß ist), sondern dass [mm] |a_k-a| [/mm] klein wird für ALLE genügend großen k.
> Bin die ganze
> Zeit am überlegen, ob ich da auch mit
> Reihenkonvergenzkriterien rangehen kann
Ich glaube nicht, dass man damit zum Ziel kommt. Zumal wir auch nachweisen wollen, dass die Folge der [mm] b_n [/mm] nicht nur gegen irgendeinen Wert, sondern gegen a konvergiert.
> bzw. was dieses 1/n bewirkt.
Anschaulich ist [mm] b_n [/mm] der Durchschnitt (arithmetisches Mittel) der Summanden [mm] a_n,...,a_{2n-1}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Für Summen kenne ich Dreiecksungleichung, dass man möglicherweise a herausziehen kann. Bei der Multiplikation bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach den Betrag von 1/n herausnehmen kann, sollte aber eigentlich gehen, da n [mm] \in \IN [/mm] liegt, also sowieso positiv ist, also könnte ich das aus dem Betrag rausziehen meiner Meinung nach. Bin mir nicht sicher, ob es möglich ist, dass [mm] a_k [/mm] herauszuziehen aus der Summe und dann auf beides die Dreiecksungleichung anzuwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Für Summen kenne ich Dreiecksungleichung,
Genau, der Betrag von Summen ist kleiner gleich der Summe der Beträge der Summanden. Das gilt übrigens nicht nur für Summen mit zwei Summanden, sondern auch für solche mit beliebig vielen Summanden.
> Bei der Multiplikation
> bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach den Betrag von 1/n
> herausnehmen kann, sollte aber eigentlich gehen, da n [mm]\in \IN[/mm]
> liegt, also sowieso positiv ist, also könnte ich das aus
> dem Betrag rausziehen meiner Meinung nach.
Kannst du. Einfache Argumentation: Es gilt [mm] |x\cdot y|=|x|\cdot|y| [/mm] für alle [mm] x,y\in\IR.
[/mm]
Somit [mm] \left|\bruch1n\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)\right|=\left|\bruch1n\right|\cdot|\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)|=\bruch1n\left|\summe_{k=n}^{2n-1}(a_k-a)\right|.
[/mm]
Jetzt die Dreiecksungleichung auf die Summe anwenden.
(Und nicht versuchen, die Dreiecksungleichung auf die Differenz [mm] a_k-a [/mm] anzuwenden! Unser Ziel sind Ausdrücke der Form [mm] |a_k-a|, [/mm] denn die sind bekanntlich klein für k genügend groß.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ansich gilt ja dann:
[mm] \bruch{1}{n}(|a_n-a|+|a_{n+1}-a|+...+|a_{2n-1}-a|)
[/mm]
Wir wissen, dass jeder Betrag kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist, ist dann aber die Summe auch kleiner als [mm] \epsilon?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ansich gilt ja dann:
>
> [mm]\bruch{1}{n}(|a_n-a|+|a_{n+1}-a|+...+|a_{2n-1}-a|)[/mm]
>
> Wir wissen, dass jeder Betrag kleiner als [mm]\epsilon[/mm] ist,
Genau, zumindest für n genügend groß.
> dann aber die Summe auch kleiner als [mm]\epsilon?[/mm]
Die Summe ist kleiner als [mm] n\cdot\epsilon. [/mm] Also ist das [mm] $\bruch1n$-fache [/mm] der Summe...
Glückwunsch!
Jetzt noch alles sauber aufschreiben:
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Da die Folge der [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |a_k-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] N$. Für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt dann
[mm] |b_n-a|=...<\epsilon
[/mm]
Bin jetzt kurz weg, dann habe ich noch eine Anmerkung zu solchen Aufgabentypen und ein paar Beispiele für ähnliche (etwas einfachere) Aufgaben, an denen du die gerade erlernten Ideen festigen kannst, wenn du möchtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe, [mm] n*\epsilon, [/mm] weil ich das n einfach auf die andere Seite packe. Zu Übungsaufgaben sage ich nicht nein, Übung macht den Meister :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe, [mm]n*\epsilon,[/mm] weil ich das n einfach auf die
> andere Seite packe.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Es gilt
$ [mm] \bruch{1}{n}(\underbrace{|a_n-a|}_{<\epsilon}+\underbrace{|a_{n+1}-a|}_{<\epsilon}+...+\underbrace{|a_{2n-1}-a|}_{<\epsilon})<\bruch1n(\underbrace{\epsilon+\epsilon+...+\epsilon}_{n \mbox{ mal}})=\bruch1n(n\cdot \epsilon)=\epsilon [/mm] $.
(Vorhin ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen: Die von mir erwähnte Regel [mm] $|x\cdot y|=|x|\cdot|y|$ [/mm] gilt nicht nur für [mm] x,y\in\IR, [/mm] sondern für beliebige [mm] x,y\in\IC. [/mm] Das haben wir auch gebraucht, als wir das [mm] \bruch1n [/mm] aus dem Betrag "herausgezogen" haben.)
> Zu Übungsaufgaben sage ich nicht nein,
> Übung macht den Meister :D
Kommen sofort in extra-Mitteilung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
1. Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge komplexer Zahlen, die gegen [mm] a\in\IC [/mm] konvergiert und sei [mm] $r\in\IC\setminus\{0\}$. [/mm] Zeige anhand der Definition der Konvergenz (ohne die "Produktregel" für konvergente Folgen zu benutzen), dass die Folge [mm] $(r\cdot a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen [mm] $r\cdot [/mm] a$ konvergiert.
2. Seien [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] Folgen komplexer Zahlen, die konvergent gegen a bzw. b seien. Zeige, dass dann die Folge [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen a+b konvergiert.
(Ich weiß; das hattet ihr schon in der Vorlesung. Aber du könntest es mal selbst versuchen, ohne nachzuschlagen.)
3. Seien für [mm] i=1,\ldots,m [/mm] durch [mm] (a_{in})_{n\in\IN} [/mm] m Folgen komplexer Zahlen gegeben, die alle gegen den gleichen Grenzwert a konvergieren. Zeige, dass die Summenfolge [mm] (\summe_{i=1}^ma_{in})_{n\in\IN} [/mm] gegen [mm] $m\cdot [/mm] a$ konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das sind nette Aufgaben, habe dabei immer das Problem, dass ich mir das ganze entweder zu simpel oder zu schwer vorstelle, ich versuche es mal mit der ersten:
Da [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, gilt:
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] derart, dass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Ich möchte nun zeigen, dass ebenfalls [mm] |r*a_n-r*a|<\epsilon' [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt.
[mm] |r*a_n-r*a|=|r*(a_n-a)|=|r|*|a_n-a|
[/mm]
Ich wähle nun: [mm] \epsilon'=\bruch{\epsilon}{|r|}
[/mm]
[mm] |r|*|a_n-a|<\bruch{\epsilon}{|r|}=> |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Also ich bin der Meinung, dass ich hier aufjedenfall ein [mm] \epsilon [/mm] wählen muss, bin mir aber nicht sicher, ob man das hier so machen kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das sind nette Aufgaben, habe dabei immer das Problem, dass ich mir das ganze entweder zu simpel oder zu schwer vorstelle, ich versuche es mal mit der ersten:
Da [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, gilt:
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] derart, dass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Ich möchte nun zeigen, dass ebenfalls [mm] |r*a_n-r*a|<\epsilon' [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt.
[mm] |r*a_n-r*a|=|r*(a_n-a)|=|r|*|a_n-a|
[/mm]
Ich wähle nun: [mm] \epsilon'=\bruch{\epsilon}{|r|}
[/mm]
[mm] |r|*|a_n-a|<\bruch{\epsilon}{|r|}=> |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Also ich bin der Meinung, dass ich hier aufjedenfall ein [mm] \epsilon [/mm] wählen muss, bin mir aber nicht sicher, ob man das hier so machen kann.
Das sollte eine Frage werden, sorry für den Doppelpost.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das würde dann so aussehen:
Ich wähle: [mm] \epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}
[/mm]
[mm] |r|\cdot{}|a_n-a|<\bruch{\epsilon'}{|r|}=> |a_n-a|<\epsilon'
[/mm]
Das verwirrt mich aber etwas, da ich ja nun nicht gezeigt habe, dass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] gilt, sondern [mm] |a_n-a|<\epsilon'
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das würde dann so aussehen:
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> Ich wähle: [mm]\epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}[/mm]
Für dieses [mm] \epsilon [/mm] existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
>
> [mm][mm] |r|\cdot{}|a_n-a|<\bruch{\epsilon'}{|r|}
[/mm]
Quatsch. Warum sollte das gelten?
> Das verwirrt mich aber etwas, da ich ja nun nicht gezeigt
> habe, dass [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm] gilt, sondern [mm]|a_n-a|<\epsilon'[/mm]
Beides wäre nicht das, was wir brauchen: Wir wollen doch
[mm] |r|\cdot{}|a_n-a|<\epsilon'
[/mm]
zeigen.
Du scheinst eigentlich die Lösung zu haben, verwurschtelst dich nur irgendwie...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, das passiert mir öfter, aber ich glaub nun habe ich's:
[mm] \epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}
[/mm]
Somit:
[mm] |a_n-a|<\epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}=>|r|*|a_n-a|<\epsilon'
[/mm]
Was zu zeigen war, so muss es stimmen, mal abgesehen von den Formalien.
Nun zur 2. Aufgaben:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] derart, dass gilt:
[mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] und [mm] |b_n-b|<\epsilon [/mm] für jeden n [mm] \ge [/mm] N
Zu zeigen ist nun:
[mm] |a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
Da bin ich etwas ratlos um ehrlich zu sein, ich hätte jetzt erstmal die Dreiecksungleichung benutzt:
[mm] |a_n-a|+|b_n-b| \ge |a_n+b_n+(-a-b)|
[/mm]
[mm] |a_n+b_n-a-b| \le |a_n+b_n|+|(-1)(a+b)|=|a_n+b_n|+|-1||a+b|=|a_n+b_n|+|a+b|
[/mm]
Das scheint mich aber nicht weiter zu bringen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, das passiert mir öfter, aber ich glaub nun habe
> ich's:
>
> [mm]\epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}[/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]|a_n-a|<\epsilon=\bruch{\epsilon'}{|r|}=>|r|*|a_n-a|<\epsilon'[/mm]
>
> Was zu zeigen war, so muss es stimmen, mal abgesehen von
> den Formalien.
Genau!
> Nun zur 2. Aufgaben:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm] und [mm]|b_n-b|<\epsilon[/mm] für jeden n [mm]\ge[/mm] N
Was richtig, aber gar nicht mal völlig trivial ist: Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es zunächst einmal eine Zahl [mm] N_1\in\IN [/mm] mit
[mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge N_1$
[/mm]
und eine Zahl [mm] N_2\in\IN [/mm] mit
[mm] |b_n-b|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge N_2$.
[/mm]
Dass es tatsächlich eine Zahl [mm] N\in\IN [/mm] gibt mit
[mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm] und [mm]|b_n-b|<\epsilon[/mm] für jeden n [mm]\ge[/mm] N
liegt daran, dass [mm] N=\max(N_1,N_2) [/mm] dies erfüllt.
> Zu zeigen ist nun:
>
> [mm]|a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
Nein. Zu zeigen ist, dass für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert mit
[mm] |(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
> [mm]|a_n+b_n-a-b| \le |a_n+b_n|+|(-1)(a+b)|=|a_n+b_n|+|-1||a+b|=|a_n+b_n|+|a+b|[/mm]
>
> Das scheint mich aber nicht weiter zu bringen.
Ziel ist, Ausdrücke der Formen [mm] |a_n-a| [/mm] und [mm] |b_n-b| [/mm] auftreten zu lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 17.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, neuer Versuch:
Wie du gesagt hast, ist dies zu zeigen:
[mm] |(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon' [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N:
Beweis (wieder etwas unformal):
[mm] |a_n-a|+|b_n-b|<2\epsilon
[/mm]
Ich würde gerne das ganze umformen in das gewollte und für [mm] e=\bruch{e'}{2} [/mm] setzen, nur mein Problem ist, dass ich mit der Dreiecksungleichung [mm] |a_n-a|+|b_n-b| \ge |a_n-a+b_n-n|=|(a_n+b_n)-(a+b)|
[/mm]
Das Problem dabei ist das [mm] "\ge", [/mm] eigentlich bräuchte ich ja dort [mm] "\le", [/mm] wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie du gesagt hast, ist dies zu zeigen:
>
> [mm]|(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon'[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N:
>
> Beweis (wieder etwas unformal):
>
> [mm]|a_n-a|+|b_n-b|<2\epsilon[/mm]
>
> Ich würde gerne das ganze umformen in das gewollte und
> für [mm]e=\bruch{e'}{2}[/mm] setzen,
Sieht alles gut aus!
> nur mein Problem ist, dass ich
> mit der Dreiecksungleichung [mm]|a_n-a|+|b_n-b| \ge |a_n-a+b_n-n|=|(a_n+b_n)-(a+b)|[/mm]
> Das Problem dabei ist das [mm]"\ge",[/mm] eigentlich bräuchte ich
> ja dort [mm]"\le",[/mm] wo ist der Fehler?
Doch, das [mm] \ge [/mm] ist genau richtig herum:
[mm] |(a_n+b_n)-(a+b)|=|a_n-a+b_n-n|\le|a_n-a|+|b_n-b|<2\epsilon'=\epsilon.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 So 18.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da ich diese Aufgabe gerade nicht von tobi gesehen habe, aber sie im Prinzip ziemlich analog zu der Aufgabe ist, die Du lösen solltest, eine weitere Aufgabe (der Name dieses Satzes ist mir entfallen, aber insbesondere in der Approximationstheorie hat dieser Satz Anwendungen - jmd. kann dies gerade ergänzen, solange es mir nicht selber einfällt):
Satz.
Seien [mm] $z_n \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z_n \to [/mm] z [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Dann gilt auch
[mm] $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n z_n \to z\,.$$
[/mm]
(Das "schöne" hier ist ja, dass man quasi immer die ersten [mm] $n\,$ [/mm] Folgenglieder mittelt...)
Edit: Hab's gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Cauchyscher Grenzwertsatz
Die Cesaro-Mittel kommen halt in der Appr.-Theorie häufiger zum Einsatz (sofern ich mich recht erinnere)...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, nun zur 3. Aufgabe:
Zu zeigen ist:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ex. in N [mm] \in \IN [/mm] derart, dass gilt:
[mm] |\summe_{i=1}^ma_{in}-m*a|< \epsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
Bekannt ist:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ex. in N [mm] \in \IN [/mm] derart, dass gilt:
[mm] |a_{in}-a|< \epsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
Nun baue ich erneut a ein:
[mm] |(\summe_{i=1}^ma_{in}-a+a)-m*a|=|(\summe_{i=1}^ma_{in}-a)+\summe_{i=1}^ma-m*a|=|(\summe_{i=1}^ma_{in}-a)+m*a-m*a|=|\summe_{i=1}^ma_{in}-a|=|(a_{1n}-a)+(a_{2n}-a)+...+(a_{mn}-a)| \le |a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a| [/mm]
Jeder einzelne Betrag ist ja wie bekannt ist kleiner als [mm] \epsilon, [/mm] somit gilt:
[mm] |a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Und somit gilt:
[mm] |\summe_{i=1}^ma_{in}-a|<\epsilon
[/mm]
Jetzt ist das m aber nicht mehr da, kann ich da einfach auf den Beweis aus der 1. Aufgabe verweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 So 18.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, nun zur 3. Aufgabe:
>
> Zu zeigen ist:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. in N [mm]\in \IN[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|\summe_{i=1}^ma_{in}-m*a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
>
> Bekannt ist:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. in N [mm]\in \IN[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|a_{in}-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
aua. Was sind denn die [mm] $a_{in}$ [/mm] da plötzlich? Hier werden nun keine neuen (undefinierten) Folgenglieder "erfunden" ^^
> Nun baue ich erneut a ein:
>
> [mm]|(\summe_{i=1}^ma_{in}-a+a)-m*a|=|(\summe_{i=1}^ma_{in}-a)+\summe_{i=1}^ma-m*a|=|(\summe_{i=1}^ma_{in}-a)+m*a-m*a|=|\summe_{i=1}^ma_{in}-a|=|(a_{1n}-a)+(a_{2n}-a)+...+(a_{mn}-a)| \le |a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a|[/mm]
>
> Jeder einzelne Betrag ist ja wie bekannt ist kleiner als
> [mm]\epsilon,[/mm] somit gilt:
>
> [mm]|a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Und somit gilt:
>
> [mm]|\summe_{i=1}^ma_{in}-a|<\epsilon[/mm]
>
> Jetzt ist das m aber nicht mehr da, kann ich da einfach auf
> den Beweis aus der 1. Aufgabe verweisen?
Nein. Du machst den Beweis nun einfach richtig.
Ich schreibe Dir mal das Wesentliche auf:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. (Mal nebenbei zu der Sprechweise: Einer meiner Profs., Herr Prof. Dr. Luh, hat immer gesagt "Ja, da kann man sich schon fragen, wie denn [mm] $\epsilon$ [/mm] noch beliebig sein soll, wenn doch [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gefordert wird." Das war seine Art, drauf hinzuweisen, dass das eigentlich heißt: Außer der Eigenschaft, dass [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ sei, fordern wir nichts, nehmen dann eines her, dass diese Eigenschaft hat und halten dieses dann fest...)
1.) Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert zu unserem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass
[mm] $$|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon \text{ für alle }n \ge N\,.$$
[/mm]
2.) Schreibe für $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$\sum_{k=1}^n (a_k-a)=\underbrace{\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-a)}_{=:S_1}+\underbrace{\sum_{k=N}^n (a_k-a)}_{=S_2=S_2(n)}\,.$$
[/mm]
Die erste Summe, [mm] $S_1\,,$ [/mm] ist endlich, zudem unabhängig von [mm] $n\,,$ [/mm] also was passiert mit
[mm] $$\frac{1}{n}S_1$$
[/mm]
bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Die zweite Summe, [mm] $S_2\,,$ [/mm] hängt von [mm] $n\,$ [/mm] ab (daher auch die Schreibweise [mm] $S_2=S_2(n)$). [/mm] Und da musst Du nun die Kenntnisse aus 1.), nach Anwendung der Dreicksungleichung (für endliche Summen), einbauen.
Am Ende kann man sich dann überlegen, ob es vielleicht nicht sinnvoller gewesen wäre, in 1.) direkt festzustellen, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon':=\epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem [mm] $N=N_{\epsilon'}$ [/mm] gilt.
P.S.
Einfach mal, damit Du nicht in Zukunft ständig Beweise am Ende zu $< [mm] \epsilon$ [/mm] abschätzt - denn das ist nicht wirklich nötig:
Es gilt:
Seien [mm] $a_n$ [/mm] irgendwelche komplexen Zahlen und $a [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Ferner sei $M > 0$ beliebig, aber fest.
1.) Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm]
2.) Für alle [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N'\,$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] M*\epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N'$ gilt.
Beweis.
"1.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2.)"
Sei [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, vorgegeben. Dann ist auch [mm] $\epsilon:=\epsilon'*M [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass mit diesem [mm] $\epsilon$ [/mm] die Behauptung in 2.) direkt aus 1.) folgt.
"2.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1.)"
Sei [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Wegen [mm] $\epsilon:=\epsilon'/M [/mm] > 0$ folgt dann die Behauptung in 1.) direkt aus 2.).
Der Sinn dieser Aussage ist:
Wenn Du etwa eine Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] komplexer Zahlen hast, und nun mitder Epsilon-Technik einen Beweis führst, und Du willst (und kannst auch) [mm] $z_n \to [/mm] z$ zeigen:
Es ist im Endeffekt egal, ob Du am Ende da wirklich [mm] $|z_n-z| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] oder [mm] $|z_n-z| [/mm] < 1/2 [mm] \epsilon$ [/mm] (was eh kleiner [mm] $\epsilon$ [/mm] ist), oder [mm] $|z_n-z| [/mm] < [mm] 3*\epsilon$ [/mm] oder [mm] $|z_n-z| [/mm] < [mm] (12000e)*\epsilon$ [/mm] stehen hast. Hauptsache, da steht irgendein Faktor [mm] $>0\,$ [/mm] multipliziert mit [mm] $\epsilon\,.$ [/mm] Dann ist der Beweis (von [mm] $z_n \to [/mm] z$) fertig!
(Ebenso ist's auch egal, ob da wirklich $< [mm] \epsilon$ [/mm] oder [mm] $\le \epsilon$ [/mm] steht!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
hubbel war gerade bei der 3. von mir gestellten Aufgabe, nicht bei der von dir genannten Aufgabe.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 So 18.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> hubbel war gerade bei der 3. von mir gestellten Aufgabe,
> nicht bei der von dir genannten Aufgabe.
oh sorry, gut, dass Du aufgepasst hast - war wohl schon zu spät für mich ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zu zeigen ist:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. in N [mm]\in \IN[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|\summe_{i=1}^ma_{in}-m*a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
>
> Bekannt ist:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. in N [mm]\in \IN[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|a_{in}-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
Zunächst mal existiert wieder nur zu jedem i=1,...,m ein [mm] N_i\in\IN [/mm] mit
[mm]|a_{in}-a|< \epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] [mm] N_i
[/mm]
Aber für [mm] N=\max(N_1,\ldots,N_m) [/mm] gilt dann
[mm]|a_{in}-a|< \epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N und alle i=1,...,m
> Nun baue ich erneut a ein:
>
> [mm]|(\summe_{i=1}^m\red{(}a_{in}-a+a\red{)})-m*a|=|(\summe_{i=1}^m\red{(}a_{in}-a\red{)})+\summe_{i=1}^ma-m*a|=|(\summe_{i=1}^m\red{(}a_{in}-a\red{)})+m*a-m*a|=|\summe_{i=1}^m\red{(}a_{in}-a\red{)}|=|(a_{1n}-a)+(a_{2n}-a)+...+(a_{mn}-a)| \le |a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a|[/mm]
Schön!
> Jeder einzelne Betrag ist ja wie bekannt ist kleiner als
> [mm]\epsilon,[/mm] somit gilt:
>
> [mm]|a_{1n}-a|+|a_{2n}-a|+...+|a_{mn}-a|[/mm] < [mm]\red{m\cdot}\epsilon[/mm]
>
> Und somit gilt:
>
> [mm]\red{|\summe_{i=1}^ma_{in}-m*a|\le}|\summe_{i=1}^m\red{(}a_{in}-a\red{)}|<\red{m\cdot}\epsilon[/mm]
Also (nach Marcels P.S.-Hinweis) das Gewünschte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wieder m vergessen, aber nun, weiß ich Bescheid, danke!
War eine sehr gute Übung.
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