Konvergenz zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
Ich hab mich schon lange mit der Aufgabe beschäftigt, eine Lösung weiss ich aber nicht. Es gilt: 0<a<b und a,b [mm] \in \IR
[/mm]
a(n) und b(n) mit n [mm] \in \IN0 [/mm] werden rekursiv definiert durch [mm] a_{0} [/mm] = a und [mm] b_{0} [/mm] = b
Zeigen sie, dass die Folgen
[mm] a_{n+1}= \bruch{1}{2} (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n})
[/mm]
und
[mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n+1} b_{n}}
[/mm]
konvergieren und denselben Grenzwert besitzen.
sofern meine Rechnung stimmt hab ich herausgefunden, dass [mm] a_{0} [/mm] kleiner als [mm] a_{1} [/mm] ist und [mm] b_{0} [/mm] größer als [mm] b_{1}
[/mm]
aber das zeigt ja noch nicht die monotonie, nur weil ich eine Beziehung zwischen jeweils zwei Werten hergestellt habe.
brauche Hilfe. Das muss ich morgen abgeben. Wenn sich nichts ergibt, dann sag ich einfach, dass a(n) mon. wachsend und b(n) fallend ist, begründet mit den zwei werten ;)
wär echt klasse von euch.
danke
mfg
Michael
p.s.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Michael,
Man kann hier noch bessere Ungleichungen finden. Damit wird die Lösung zum Kinderspiel. Es gilt:
[mm] $a_0$ [/mm] = a = 1/2*(a+a) < 1/2*(a+b) = [mm] $a_1$ [/mm] < 1/2*(b+b) = b = [mm] $b_0$
[/mm]
[mm] $a_1$ [/mm] = [mm] $\wurzel{a_1 * a_1}$ [/mm] < [mm] $\wurzel{a_1 * b_0}$ [/mm] = [mm] $b_{n+1}$ [/mm] < [mm] $\wurzel{b_0 * b_0}$ [/mm] = [mm] $b_0$
[/mm]
Damit hat man [mm] $a_0 [/mm] < [mm] a_1 [/mm] < [mm] b_1 [/mm] < [mm] b_0$ [/mm] und mit Induktion auch
[mm] $a_n [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] b_{n+1} [/mm] < [mm] b_{n}$ [/mm] für alle n
Die Folge a wächst monoton und ist durch die [mm] $b_n$ [/mm] nach oben beschränkt, also konvergiert sie. Ebenso konvergiert dann die Folge b.
Es bleibt zu zeigen, dass die Grenzwerte übereinstimmen. Man hat aber:
[mm] $|b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1}| [/mm] = [mm] $b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1}$ [/mm] < [mm] $b_n [/mm] - [mm] a_{n+1}$ [/mm] = [mm] $b_n [/mm] - [mm] 1/2*(a_n [/mm] + [mm] b_n)$ [/mm] = 1/2 * [mm] (b_n -a_n)$
[/mm]
Damit geht die Differenz der Folgen gegen 0. Die Grenzwerte stimmen also überein.
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:34 Fr 25.11.2005 | | Autor: | spit.fire |
vielen dank schonmal dafür! das hat mir schon mal sehr geholfen (wenn auch zu spät. so konnte ich auf dem blatt nicht mehr begründen, warum a(n) gegen b(n) geht, hab also nur die behauptung. egal)
ich weiss zwar was die induktion ist und was man damit bezweckt, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie das in diesem beispiel vor sich gehen soll :(
wär super, wenn du dir dafür auch noch die mühe machen würdest!
mfg
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 So 27.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo spit.fire!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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