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Hallo,
eine Sache, die mich regelmäßig verwirrt, ist folgendes:
Wähle [mm] x_n [/mm] = (0, [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] und betrachte die Folge [mm] (x_n), [/mm] d.g. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} card(x_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |x_n| [/mm] = 0.
Die Anzahl der Elemente konvergiert also nicht, die Länge des Intervalls schon. Warum ist das so? Es ist klar, dass (0, [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] für endliches n immer unendlich viele Elemente enthält, aber im gedachten Unendlichen, steht doch dann das Intervall (0, 0) da, also müsste auch die Kardinalität 0 sein.
Der einzige Unterschied zur Konvergenz der Länge ist, dass letztere kontinuierlich abnimmt, während die Kardinalität immer [mm] \infty [/mm] bleibt bis zu diesem letzten gedachten Element [mm] \infty, [/mm] wo sie dann sprunghaft 0 wird.
Welche Schritte muss ich da geistig durchlaufen, um den Unterschied zu erkennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |x_n| [/mm] $ = 0 ist eine Kerzschreibweise für : es existiert ein [mm] n_0 [/mm] so dass....
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} card(x_n) [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $ ist eine kurzschreibweise für ?
schreib das auf, dann ist alles klar
die Schreibweise [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] heisst NICHT
dass es so etwas wie eine Zahl [mm] n=\infty [/mm] gibt! die gibt es nicht! es gibt uur zu jeder Zahl k ein n nit n>k!
ebenso gibt es kein n mit 1/n=0
Also schreib dir nochma au, was der [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}a_n=a [/mm] bzw [mm] \infty [/mm] bedeutet. du hast die Definition falsch verwendet.
Gruss leduart
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